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分かる方よろしくお願いします。


図の様に、質量m₁の物体1と質量m₂の物体2がばね定数kのばねでつながれ、摩擦のない面上を直線運動している。また、ばねは伸び縮みを繰り返しながら一定の周期Tで振動している。以下の問いに答えよ。ただし図の様に、初期状態(時刻t=0)においては、物体1はx=0の位置に、物体2はx₂₀の位置に、両物体の重心Gはx(G0)の位置にあり、この時ばねは自然長であるとする。またt秒後の物体1と物体2の初期位置からの変位をそれぞれx₁、x₂で表し、重心Gの変位をx(G)で表す。

(1)物体1と物体2の運動方程式を示せ。

(2)(1)の結果から、両物体の重心
Gは等速直線運動することを具体的に示せ。

(3)[(物体2の運動方程式)×(1/m₂)]から[(物体1の運動方程式)×(1/m₁)]を差し引くことによって、物体1から見た物体2の相対的運動の運動方程式を示せ。ただし、 物体1から見た物体2の相対変位をx(x₂―x₁)とおいて整理せよ。

(4)ばねの振動の角振動数ωと周期Tを求めよ。

「分かる方よろしくお願いします。 図の様に」の質問画像

A 回答 (4件)

別に構わないと思います。

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-k(x₁-x₂) , k(x₁-x₂) において x₂→x₂+x₂₀ とすると


-k(x₁-x₂)→-k(x₁-x₂+x₂₀)となります。すると、t=0で、x₁=x₂=0 ですから
-k(x₁-x₂+x₂₀)=-kx₂₀≠0 となって、自然長状態でm₁に力が働くことになり、間違っています。

結局、m₁,m₂に働く力は、ばねの自然長x₂₀からの変位長が必要になりますが、m₁のx₁の変位
により、ばねはx₁だけ縮み、m₂のx₂₀から、x₂₀+x₂の変位により、バネは (x₂₀+x₂)-x₂₀=x₂
だけ伸びます。

したがって、合計、バネは (x₁-x₂) だけ縮み、-k(x₁-x₂) のマイナス方向の力をバネがm₁ に
加えます。m₂では反作用で、k(x₁-x₂)のプラス方向の力になります。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
自分の言い方が悪くてすみません。
バネの伸びに関しては仰ることに賛成です。
言いたかったのは⑴の運動方程式のm₂x₂''(右辺)においてx₂ではなくx₂₀+x₂なのではないかと考えました。運動方程式を作るときは、質点の原点からの距離でないといけないと思うのですが間違えているのでしょうか?

お礼日時:2019/07/02 10:56

大事なのはですね。

二自由度系の振動だと思って固有振動数を求める手法を学んでおくことと,その答のうち,一つの固有振動数がゼロ!だということです。物理的・数学的な感覚を磨いてください。
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(1)


m₁x₁''=-k(x₁-x₂) , m₂x₂''=k(x₁-x₂)

(2)
面倒なので xg=xG+xG₀ とする。
xg=(m₁x₁+m₂(x₂₀+x₂))/(m₁+m₂)
xg''=(m₁x₁''+m₂x₂'')/(m₁+m₂)
(1) から
xg''=0 → xg'=Const.

(3)
(1)から
x₂''-x₁''=k(x₁-x₂)(1/m₂+1/m₁), x=x₂'-x₁ とおくと
x''=-k(1/m₂+1/m₁)x

(4)
(3)を解いて
w=√{k(1/m₂+1/m₁)} , T=2π/w=2π/√{k(1/m₂+1/m₁)}
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。
⑴の運動方程式でx₂のところをx₂₀+x₂と私は考えたのですが、どうしてx₂になるのでしょうか?

お礼日時:2019/07/01 12:51

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