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リーマン球面の位相
複素解析を勉強中の初学者です。
複素平面Cに∞をつけ加えた拡大複素平面Ĉはリーマン球面に同相であり、1点コンパクトだと勉強しました。
また、その位相に関してはCの開集合系と{OΙĈ-OがCの閉集合}の合併で定まることがわかりましたが、もう少し詳しいことが分かりません。
①Ĉは∞とCの元との距離が定まっていないため、距離空間ではありませんよね?
②∞の近傍はリーマン球面の北極点の近傍の複素平面への斜影を考えればよい。
閉曲線の外側のような形となる。
これで合っていますか?
③②を利用して、本来∞に発散と呼んでいたものを∞に収束すると定義する。
合っているでしょうか?
④Ĉの位相をもっと直感的に捉えるには、リーマン球面の位相で、捉えればよいですか?
でもそうすると、リーマン球面での開集合系の定め方がよくわかりません。
どなたか教えて下さい。

A 回答 (1件)

①Cの距離をそのままĈの距離に使うことはできませんが、


 ĈにはĈの距離が入れられます。だって、球面と同相ですからね。
②③それでよいです。「∞に収束」を別途定義しなくても、
 ∞の近傍が定義されれば、普通の収束の定義で済みますが。
④それでよいです。というか、Ĉと球面を区別する理由が判らない。
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