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ヒントの意味がわからないんですけど、教えてください。

「ヒントの意味がわからないんですけど、教え」の質問画像

A 回答 (5件)

f(x)-2x³を、一次式、二次式、三次式、四次式、それぞれ「でっち上げて」こしらえて、計算してみなよ。


なんでなんで、と考えるだけで手が止まっているのがダメ。
手を動かす。
何らかの一次式の場合、どんな式になるのか。計算するとどうなるのか。
何らかの二次式の場合、どんな式になるのか。計算するとどうなるのか。
何らかの三次式の場合、どんな式になるのか。計算するとどうなるのか。
等々。
いずれにしても、何かの何次式かになるんでしょう。
f(x)のままで考えない。抽象的一般的なまま考えない。
でっち上げてでも、具体的に考えてみる。
そしてそのでっち上げを、一般化してみる。
手を止めない。手を動かして痛い目に遭ってみる。なに、どうせ机の上の話、怪我するわけじゃ無い。
これをやらずして、一目見て何次式かが判るようにはたぶんならない。
やってみれば判る。まず痛い目に遭ってみる。遭ってみれば色々発見できる。
それをしないから丸暗記数学になる。
ヒントの意味を考えているその姿勢は良いと思うけれど、どうやって考えていくべきか、その方法を、踏み込み方を知らない。それは上記の通り。
何度も痛い目に遭って、踏み込み方を覚えて下さい。
踏み込み方を覚えないと、丸暗記が通用しない問題が解けなくなります。
大学の数学者が、丸暗記では通用しないような問題をわざわざ作るんだから。(笑)
それが出たら、それが出るような大学を受けたら、踏み込み方を知らなければアウトです。
この問題の答えも大事だけど、そっちも大事。
解答だけ覚えれば良いと言っている解答コレクターは、だから半分も学べないわけ。
ヒントの意味を考えているあなたは、まだ助かっているけれど、勉強の仕方を間違えると奈落の底。
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発散せず1に収束するからにはf(x)-2x^3はx^2と等価で無くてなりません。

実際には2次以下ではなく2次と「等価」で無くてはいけないのです、例えば1次だったり正の実数だったりしたらx→∞になるとゼロに収束してしまいます。
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(ヒントはやや、雑なことを言っているような気もしますが・・・)



∞どうしの比較について身につけておくべき感覚

例)xが十分大きい時、xとx³はではもちろんx³の方が大きい
この事は比を取れば、明確となります
x³/x=x²
だからx=100のときx²に代入して、x³は100²=10000倍(xの10000倍)大きい
x=10000のときx³は10000²=1億倍(xの1億倍)大きい
といった具合でx³はxよりx²倍大きいと言えます。
このとき、xが大きくなるほど差がひらくので、(十分大きいxについて)xはx³に比べれば無視できるほど小さい
この感覚が大切です
(従って例えば、xが十分大きければx³+x≒x³とみなして構わないことになります。)

これを踏まえてヒントに絡めて言えば、
x→∞で
{f(x)-2x³}/x²=1という事は
xが十分大きいところでは、{f(x)-2x³}≒x²(分母と分子の比率がほぼ同じ)という事です。
つまり、分子f(x)-2x³も2次式であるという事です
もっと言えば、
f(x)-2x³=x²+x+1かもしれないし、x²+3x-5かもしれない、またはその他かもしれないが、
前に述べた通り、xが十分大きければ
f(x)-2x³≒x² になるということ

この感覚を持ってすれば、ヒントの意図からは少しだけ離れるかもしれませんが、f(x)-2x³=x²+bx+c なんだろうなと言う見通しが立つのです。
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多項式 g(x) に対して、lim[x→+∞]g(x) は、


[1] g が 3次以上のとき +∞
[2] g が 2次のとき 0 以外の定数
[3] g が 1次以上のとき 0
となります。
「2次以下」という言いかたから見て、そのヒントは、
[1’]  g が 3次以上のとき 発散
[2+3] g が2 次以下のとき 収束
と扱って欲しいのでしょう。それに従うと...

lim[x→+∞]{f(x)-2x^3}/x^2 が収束することから、
分子は 2次以下の多項式である。
f(x) - 2x^3 = ax^2 + bx + c (a,b,cは定数) と置く。

ひとつめの与式から、1 = lim[x→+∞]{f(x)-2x^3}/x^2
= lim[x→+∞]{ax^2+bx+c}/x^2 = a が成り立つ。

また、ふたつめの与式から、-3 = lim[x→0]f(x)/x
= lim[x→0]{2x^3+ax^2+bx+c}/x = b + lim[x→0]c/x が成り立つ。
c ≠ 0 ならば |lim[x→0]c/x| = +∞ だから、c = 0 でなければならず、
そのとき、-3 = b である。

以上より、f(x) = 2x^3 + x^2 - 3x と判った。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2019/07/04 08:08

なぜわざわざ「2次以下」と書くのかは、たしかに意味判らないですね。


一見して、ちょうど2次ですからね。
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