この問題の解き方を教えてください！

この問題の解き方を教えてください！

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/06 22:20

a[n+1]=2a[n]-4/3…①より

a[n+2]=2a[n+1]-4/3…②
②-①より
a[n+2]-a[n+1]=2a[n+1]-2a[n]=2{a[n+1]-a[n]}・・③
ここでbn=a[n+1]-a[n]とおくと③は
b[n+1]=2b[n]と書き直せる
また①よりa2=2a1-4/3だから
a2-a1=a1-4/3=2-4/3=2/3
よってb1=a2-a1=2/3
従ってｂｎは2倍すると次の項になるので公比２の等比数列言え、初項はb1=2/3である
∴bn=(2/3)・(2)^n-1=(1/3)・2^n
∴a[n+1]-a[n]=(1/3)・2^n
階差数列が(1/3)・2^nだから
an=a1+Σ[K=1～n-1](1/3)・2^k=2+(1/3)Σ[K=1～n-1]2^k
=2+(1/3)・2{(2^n-1)-1}/(2-1)
=2+(1/3){(2^n)-2}
=(1/3)・{(2^n) +4}(ただしn≧２）
これはn=1のときも成立するので
(1/3)・{(2^n) +4}・・・答え

(2)
ｎが奇数である時mを自然数として
n=2m-1と表すことが出来る
このとき、
an=a[2m-1]=(1/3)・{2^(2m-1) +4}
数学的帰納法などで{2^(2m-1) +4}が３の倍数であることを示す