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R^3の基底{(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,1)}に対する線形変換T:R^3→R^3の表現行列が
1 -1 0
0 -1 1
1 0 1 のとき⑴…⑷の問いに答えよ という問題の
⑷R^3の基底{(1,-1,0),(1,1,-2),(1,1,1)}に対するTの表現行列を求めよ

の答えですが、
1 -1 -1
0 -1 1
0 0 1
で合っていますでしょうか?
違いましたら、解説お願いします。

A 回答 (1件)

2組の基底{(1,-1,0),(0,1,-1),(1,0,1)}と{(1,-1,0),(1,1,-2),(1,1,1)}を成分表示


するのに使った基底は共通なんでしょうね? そうでないと話になりませんからね。

その共通基底の上での T の表現行列を T、

ひとつめの基底から共通基底への変換行列(基底ベクトルを列として並べたもの)
   1  0  1
  -1  1  0
  0  -1  1 を B、
ひとつめの基底の上での T の表現行列
  1  -1  0
  0  -1  1
  1   0  1  を A、

ふたつめの基底から共通基底への変換行列(基底ベクトルを列として並べたもの)
   1  1  1
  -1  1  1
  0  -2  1 を P、
ふたつめの基底の上での T の表現行列を Q と置くと、

これらの行列の間には、基底変換
T = BA(B^-1) = PQ(P^-1) の関係があります。

よって、
Q = (P^-1)BA(B^-1)P = (中略) =
   3/2   1/2  -1
  -1/6  -7/6  1/3
   2/3   2/3  2/3.
これが求めたい行列でした。
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