数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。

数学についてです。
写真の問題の解説をしてください。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/13 20:49

三次関数の極小点が x>0, y=0 になるように a を定めろという問題。

f(x) = 2x^3 - 3(a-1)x^2 + 6(a-2)x - 4 と置くと、f(x) の極小点は(x^3の係数が正だから)
f’(x) = 6(x+1)(x-(a+2)) = 0 の解のうち大きい方の x に対応する。
それが x>0 なのだから、a+2>0 である必要があり、極小点は x = a+2。
極小値は、f(a+2) = -a(a^2 - 9a - 24) = 0。

a+2>0 かつ -a(a^2 - 9a - 24) = 0 となる a を求めればよいことになる。
a = 0, (9+√177)/2 のふたつが解となる。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/13 16:47

＃１

場合分けのところを訂正します
①a<3のときa-3<0だから
√(a-3)²=-(a-3)=-a+3
(A)よりx={(a-1)±(-a+3)}/2=1,a-2
a<3よりa-2<3-2⇔a-2<1だから、極大値はx=a-2,極小値はx=1
このときf(1)=2-3(a-1)+6(a-2)-4=3a-11=0
a=11/3
a<3に合わないから不適

②よりa>3のときa-3>0だから√(a-3)²=a-3
(A)よりx={(a-1)±(a-3)}/2=a-2,1
a>3よりa-2>3-2=1だから極大値はx=1,極小値はx=a-2
x=a-2で極小値f(x)=0よりaを求める

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/07/13 20:58

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/13 16:01

y=f(x)とおく

f'(x)=6x²-6(a-1)x+6(a-2)
=6{x²-(a-1)x+(a-2)}

ここで増減表とグラフをイメージ（ちなみに3次関数のグラフはN字型となることは常識）
x|・・・0・・・b・・・
f'|　＋　　＋　-,0　＋
f|　　－４　　　0
このように極小値を取るxをx=bとすれば、0<b
f'(x)がbの前後でマイナスからプラスに変わる必要がある。
そして、f'(b)=0
ちなみに、増減表からbよりも小さいｘ座標で極大値を取ることが分かる
極小となる点がx軸に接するから,f(b)=0

f'(x)=0とおくと6{x²-(a-1)x+(a-2)}＝０⇔x²-(a-1)x+(a-2)＝０
x=[(a-1)±√{(a-1)²-4(a-2)}]/2={(a-1)±√(a-3)²}/2・・・(A)
ここで上に示したように,f'(x)は符号が変わる必要があるから、その判別式DはD>0でなければならない
D=(a-3)²>0よりa≠3
①a<3のときa-3<0だから
√(a-3)²=-(a-3)=-a+3
(A)よりx={(a-1)±(-a+3)}/2=1,a-2
a<3よりa-2<3-2⇔a-2<1だから、極大値はx=a-2,極小値はx=1
このときf(1)=2-3(a-1)+6(a-2)-4=3a-11=0
a=11/3

②よりa>3のときa-3>0だから√(a-3)²=a-3
(A)よりx={(a-1)±(a-3)}/2=a-2,1
a>3よりa-2>3-2=1だから極大値はx=1,極小値はx=a-2
このとき、極大値はf(1)=0だから、極小値はf(a-2)<0
これは極小値となる点がy軸に接することに反する
従ってa>3は不適

以上からa=11/3