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不定積分の∫ xlogx dxを部分積分法を使って出す問題がいまいちわかりません。答えしか書いておらず、よろしければ解き方を教えて下さい

A 回答 (2件)

部分積分法は積の微分の逆を使う方法です。


∫ xlogx dx_①の積分記号のあとの関数x log xは、xと log xの積です。その片方だけを積分するので、部分積分という名前がついています。どの部分を積分するとよいかは、工夫します。
ここではxだけを積分して
(x^2)/2・logx_②という式を書いて下さい。
次に(1)積の微分の公式を使って、微分し、(2)また積分します。
(1) 式②を積の微分の公式を使って微分すると
{(x^2)/2・logx}'=x・logx+(x^2)/2・1/x=xlogx+x/2
これを書き直して③とする。
{(x^2)/2・logx}'=xlogx+x/2_③
(2) 式③を積分すると、各項ごとに∫とdxをつける。
∫{(x^2)/2・logx}'dx=∫x logx dx+∫(x/2)dx_④
左辺は微分して積分するからもとにもどる。
(x^2)/2・logx=∫x logx dx+∫(x/2)dx
右辺第1項について解くと
∫x logx dx=(x^2)/2・logx-∫(x/2)dx_⑤
ここでは式①から⑤を出す手順を段階的に書いたが
普通は、式①から、一挙に式⑤が書けるように練習して、式⑤を得る。
⑤の最後の項の積分計算をすると
∫x logx dx=(x^2)/2・logx-x^2/4_⑥
不定積分の計算では、最後に積分定数Cをつけて
∫x logx dx=(x^2)/2・logx-x^2/4+C_⑦
⑦が答えとなる。
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∫ xlogx dx=∫ {(1/2)x²}'logx dx


=(1/2)x²logx-∫ {(1/2)x²}(logx)' dx
=(1/2)x²logx-∫ {(1/2)x²}(1/x) dx
=(1/2)x²logx-∫ (1/2)x dx
=(1/2)x²logx-x²/4+C
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