分け合って必要なのですが、数式の英語の読み方が分かりません。どこを調べればいいか皆目見当もつきません。どなたか知っている人教えてください。またどこを調べればいいかだけでもいいです。お願いします。

Y=√(A+B)←ルートの中にA+Bが入っています。
AのX乗 ←Aの上に小さなXがのっています。
A/B ←B分のAです。
Y(X) ←これはYのXの関数という意味です。
Y(X)の1階微分
Y(X)の2階微分
∫Y(X)dx ←これはYのXの関数の積分という意味です。
∫A~B Y(X) dx (AからBのY(X)の積分という意味です)

パソコンでの表記の仕方が分からないので日本語も交えながら、なるべく分かりやすいように書いたつもりです。

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A 回答 (3件)

AのX乗: A to the power of Xth、略して A to the Xth ともいいます。



A/B: 数値のときは序数を使いますが、変数や式のときは A over B といいます。

Y(X): (function) Y of X といいます。

やっぱり、詳しくは本を見てください。
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### Y=√(A+B) ###


Y equals the square root of A plus B


### AのX乗 ###
A to the Xth power


### A/B ###
a-b
分数の読み方…分母は序数、分子は基数で表します。ex.) 3/7 three-seventh


### Y(X) ###
Y is a function of X


###∫A~B Y(X) dx ###
Integral of a function of X with respect to x from x equals a to x equals b.
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この回答へのお礼

ありがとうございます!非常に助かります。感謝です!
最後の積分なんて非常に難しいですね。

お礼日時:2001/08/01 19:55

参考になりそうな書籍を挙げておきます。



やさしい英語の算数と数学開田精一南雲堂19911,500円4888960046
やさしい英語の代数と幾何開田精一南雲堂19921,942円4888960283
基礎からわかる数・数式と図形の英語銀林浩日興企画19992,500円4888776296
英語の数聞けますか、読めますか?池田和子南雲堂19964,175円4888966273
数の英語〔新版〕松居司・P.スノードンジャパンタイムズ1995
英語数量表現辞典富井篤編三省堂19954,500円4385110050
数の英語表現辞典橋本光憲編小学館19991,500円4095043210
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Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

...続きを読む

Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i...続きを読む

Q(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dyの成立条件

(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)をyで積分(定積分)したものをxで微分したもの)を考えます(ただし、(a~b)は積分範囲を表し、aやbは定数であって、xの関数ではありません)。
これは多くの場合、∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)を先にxで微分してからyで積分したもの)と等しくなります。しかし、まれに一致しない場合があります。例としては、f(x,y)=(sin xy)/y (x>0)の場合が挙げられます。
そこで、
(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy
が成立するための必要十分条件を教えていただきたいと思っています。
もし簡単には述べられない条件でしたら、何のどこを参照すればこのことが論じられているのかを具体的にご教示いただけると幸いです。

Aベストアンサー

積分と微分の順序交換については
必要十分条件は一般にはありません.
ただし,十分条件は知られています.

リーマン積分の範囲だと
f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
くらいがいえるはずです.
#積分区間とかは省きます.

その十分条件で一番便利だろうと思われるものは
ルベーク積分の言葉で記述されます.
興味があれば,「ルベーク積分」の本を
追いかけてください.
・ルベークの有界収束性定理
・L^1空間
というようなものが理解できれば,順序交換の定理は理解できます.

Q∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dxという定積分の性質の証明について

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の場合は容易ですが、α≦0のときにはsup(-f(x))=-inff(x)であることを示してからひとつの補題を証明し、その後に上の証明に取り掛かっています。これによると、この定理は、どうも「容易なので省略する」とはいえないような気がします。

そこでお尋ねですが、
1 αの場合分けをしないなどして、定積分の定義から容易に、それこそ2,3行ぐらいで証明する手法はありますか?
(ただし、f(x)が連続関数であるときの定理∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)(F(x)はf(x)の原始関数)というルートは使わないものとします。)

2 もし、容易でないにもかかわらず証明を省略する場合は紙数の都合によるのでしょうか?

3 初学者には容易ではないのに、著者がそう判断してしまっているということはありえますか?

以上、よろしくお願いいたします。

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の...続きを読む

Aベストアンサー

細かい議論までは、追っていませんが、リーマン積分の定義が分かっていれば、「自明」じゃないですかね。
リーマン積分というのは、上積分の下限と下積分の上限が一致する時に、この値を∫(a,b)f(x)dxのように書くという感じで定義されてましたよね。(ちゃんとした定義は教科書を見てください)

∫(a,b)αf(x)dxというものを考えたとしても、上限や下限の値がα倍されるだけですので、両者が一致する事に代わりはないし、値自体もα倍される、つまり、α∫(a,b)f(x)dxに等しくなりますよね。(αが負の場合には、負の数を掛けたのだから上限と下限がひっくり返る、みたいな微妙な違いはありますが、何かが大きく変わる訳ではない)

Q∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx は必ずなりたつ?

∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx は必ずなりたつ?

高校数学の範囲としてお聞きします。

∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx は必ずなりたちますか?

また、その理由もお教えください。(なんとなく感覚的には成り立つように思えるのですが、実感(というか理解)できてないです)

以上、お手数をおかけして恐縮ではございますが、よろしくお願い申し上げます。

Aベストアンサー

文字通りの意味ですけれど.
左から右へ行こうとしても, g(x) と h(x) に関して, 有界性すら保証されていないわけですよね.

Q材料力学(数学)の問題です。 0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-a

材料力学(数学)の問題です。

0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-ax+3abである関数のグラフを描け。a、bは正の定数とする。
この問題の解き方を教えて下さい。わかりやすく解説してくだされば有難いです。

Aベストアンサー

0<x<bでy=ax
これは単なる比例です。aが正の定数なので、0を通る右上がりの直線ですね。

b<x<2bでy=ab
a,bが定数なので、abも定数です。
x=bの時「y=ax」=「y=ab」であるので、
y=axのx=bにおけるyから横一直線ですね。

2b<x<3bでy=-ax+3ab
これは最初の比例のグラフと傾きが正負逆になっていますね。
x=2bの時y=-2ab+3ab=ab、
x=3bの時y=-3ab+3ab=0
となる右下がりの直線ですね。

x=0,b,2b,3bは範囲外となります。
グラフを描く時に境界部分で○とするか●とするか間違わないように。


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