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数学の問題です。

下記の過程でどこが間違っているか教えてください。

(どこかで計算間違いしていると思われます)

曲線 y^2 = 6x + 3 ・・・① と
円 x^2+y^2=a (a>0) ・・・② との交点の個数を求める問題で、

①を②に代入した式の判別式をDとすると

D/4 = a+6 になり、a>0 より、①と②は必ず交点をもってしまいます。

しかし、①と②をグラフ化すると aの値が小さいとき(例えば0.1) のとき、
①と②は交点を持ちません。

これは、何が間違っていますか?

A 回答 (4件)

y²どうしで消去しているからいけない



例えば y=x…③とy=x²…④で2式を連立して、yを消去して得られた式(x=x²・・・⑤)は
③④に共通な実数y=0または1のとき③④に共通するxはいくつになるかということを調べる式 と言う意味になる
このとき当然ながら⑤は判別式が正
ちなみに、y=x-1とy=x²の連立からyを消去すれば判別式は負
つまり、2式からyを消去したとき、2式に共通な(x,y)の個数を表わすのが判別式D
(この例の要点は、yが実数であるということが確定しているという事)

一方、①に②を代入という事は
①②に共通な実数y²に対して①②に共通するxの値はいくつになるか?を意味する式となる
この時、①を②に代入した式の判別式の意味は、①②に共通な(x,y²)の個数 ということ
具体的には、a=0.1の場合、①を②に代入した式の意味の1つは、①②に共通なy²=-15-6√6.1に対して、①②に共通するxはx=-3-√6.1になるということ…⑥
y²=-15-6√6.1に対してx=-3-√6.1が存在するのだから判別式は正
しかし、このときyは虚数なので、⑥:(x,y²)=(-3-√6.1,-3-√6.1)より得られる点(x,y)をx-y平面上には表わすことはできない
つまり、①②共有点はxy平面上にはないという事になります
このように、あなたが導出した判別式D/4はxy平面上での交点の数に直結しないので、更なる確認を要します
(こちらの要点はy²は実数でも、yは実数だと確定はしていないという事)

これを嫌うならxを消去してyの4次関数の増減をyの範囲に注意して調べるとか
放物線上の動点Pと円の中心の距離、と半径との大小関係から判断というのが良いかも
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
もし、代入する文字が実数であると確定していれば、今回の件は、問題なく解けるという理解でよいでしょうか?

例えば、今回のy^2 = 6x + 3 はxの値に制限があるため、今回のような解き方はNGですが、もしy=x+b(bは実数)であれば、xの値に制限がない(xはすべての実数を取り得るし、実数xが決まれば実数yが決まる)ので、今回のような解き方でも問題ないと考えて良いでしょうか?

言い換えれば

(1)今回の場合は、代入するy^2 = 6x + 3 がxの値に制限があるため、判別式で個数判定ができない

(2)例えば、これが、y=x+bであれば、xの値に制限がないので、判別式で共有点の個数判定ができる。

上記(1),(2)の理解であっていますか?


(追記)
代入する側(=質問文の式①)において、xの値に制限がある場合は、判別式による共有点の個数判定ができないことは理解しつつありますが、
代入される側(=質問文でいうところの式②)に関しては、xの値に制限があっても問題ないのでしょうか?

お礼日時:2019/07/24 00:54

「①と②の両方を同時に満たす」ものは「①を②に代入した式を満たす」けど, だからといって


「①を②に代入した式を満たす」ものが「①と②の両方を同時に満たす」とは限らない.

「P ならば Q」だからといって「Q ならば P」とは限らない.
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aの変化で交点がかわる。


参考に。
「高校数学の問題です」の回答画像3
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交点とは①②を両方満たす x,y のことです。


「①を②に代入した式」だけで考えると、「①かつ②」とは同値でなく、
y に関する情報が抜けています。
実際この問題で、①と②が交点を持たない状況というのは、
「①を②に代入した式」の解 x に対応する y が存在しない場合です。
6x+3<0 になってしまうと、①を満たす y がありませんね。
存在するしないだけでなく、個数を考える上でも
1 個の x が何個の (x,y) に対応するのかを考える必要があります。
標語的には、「式から消去した変数を頭から消去しない」ことです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
何を代入するかによって、判別式による共有点個数の判定ができるorできないが決まるということでしょうか?

(1)今回の場合は、代入するy^2 = 6x + 3 がxの値に制限があるため、判別式で個数判定ができない

(2)例えば、これが、y=x+bであれば、xの値に制限がないので、判別式で共有点の個数判定ができる。

上記(1),(2)の理解であっていますか?


(追記)
代入する側(=質問文の式①)において、xの値に制限がある場合は、判別式による共有点の個数判定ができないことは理解できそうですが、
代入される側(=質問文でいうところの式②)に関しては、xの値に制限があっても問題ないのでしょうか?

お礼日時:2019/07/24 00:47

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