数学の問題、教えてください。（ベクトル）

この問題がわかりません。
解説付きで丁寧に教えてくださったらうれしいです。
この問題に解説がなくて困っています。

座標空間内の3点 A(1，２，３）、B (3、－１，２)、C（２、－３、－１）を含む平面をαとする。
（１）三角形ABCの面積を求めよ。

（２）ベクトル （ｎ→）＝（1,u,v）が、平面αに垂直となるようなu,vの値を求めよ。

（３）点Pがｘｙ平面上の単位円の周上を動くとき、点Pから平面αに下した垂線の長さの最大値を求めよ。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/07/23 20:38

(1)3点 A(1，２，３)、B(3、－１，２)、C(2、－3、－１)の作る三角形ABCの二辺を、ABとACとする。

ベクトルABを↗ABと書く。
↗AB＝B(3、－１，２)－A(1，２，３)=(2，－3，－1)
↗AC＝C(2、－3、－１)－A(1，２，３)=(1，－5，－4)
↗T=↗AB×↗ACを、↗ABと↗ACの外積という。↗Tを計算すると
↗T =↗AB×↗AC=(7，7，－7)　|↗T|=√(7²+7²+ (－7)²)=7√3
ベクトルの公式によると、三角形ABCの面積は|↗T|/2=(7√3)/2となる。
↗Tは三角形ABCを含む平面αに垂直である。この↗Tを三角形ABCの面積ベクトルという。
(2) ベクトル↗n =(1,u,v)が平面aに垂直とは、↗nと↗Tは平行だから、↗Tの各成分を7で割って
↗n =(1,u,v)=↗T/7=(1,1,－1)となる。u=1，v=－1である。
(3)点Pがｘｙ平面上の単位円の周上を動くとき、点Pから平面αに下した垂線の長さの最大値を求めよ。
まず原点Oから平面に下した垂線の足の点Hを求める。
↗nの方向の単位ベクトル↗n /√3と、↗A= A(1，２，３)の内積はOHの長さになるので
↗n/√3･A(1，２，３)= (1,1,－1)/√3･(1，２，３)=0。面αは原点を通る。
点Pの座標を(x，y，0)= (cosθ，sinθ，0)とする。
↗n方向の単位ベクトル↗n /√3と、↗P= (cosθ，sinθ，0)の内積は↗Pの↗n方向成分になる。
↗n/√3･↗P= (1,1,－1)/√3･(cosθ，sinθ，0)= (cosθ+sinθ)/√3=√(2/3)sin(θ+π/4)。
これが点Pから平面αに下した垂線の長さになる。
最大値は、θ=π/4または5π/4のときで、距離は√(2/3)となる。
最小値は、θ=3π/4または7π/4のときで、距離は0となる。Pは平面αの上にある。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2019/07/23 16:28

（1）(7√3)/2　（2）ｕ＝1、ｖ＝-1　（3）√6/3