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この問題がわかりません。
解説付きで丁寧に教えてくださればうれしいです。
問題に解説がなくて困っています。

奇数p≧3に対して、次の条件

2/p=(1/x)+(1/y) (0<x<y)

を満たす自然数x、yを考える。次の問いに答えよ。

(1)(p+1)/2≦x≦p-1、 p+1≦yとなることを示せ。

(2)p=3のとき、x、yを求めよ。

(3)p=5のとき、x、yを求めよ。

(4)pが3以上の素数の時、x、yは1組だけ存在することを示せ。

お願いします。

A 回答 (1件)

長くなってしまいましたが



(1)
x<y なので,逆数にして大小も逆にして (1/y)<(1/x)

(1/y)と(1/x)の和が(2/p)で,(1/y)<(1/x)なので,(2/p)の半分よりも(1/x)が大きいことになるので,
(2/p)/2 < (1/x)

また,当然ながら (1/x) < (2/p) である

したがって,xについて,
(2/p)/2 < (1/x) < (2/p)
(1/p) <(1/x)<(2/p)
自然数なので,逆数にして大小も逆
(p/2)< x < p
自然数なので,pに±1して等号をつけて,
(p+1)/2 ≦ x ≦ p-1 ・・・・・・・・ ※1


yも同様に
(1/y) < (2/p)/2
(1/y) < (1/p)
p < y
p+1≦y ・・・・・・・・ ※2


----(1)の回答ここまで-------------------
※2 の p+1≦y では yの値が無限にあり定まらない
yの値を求めるために,別に式を考える必要がある
(1/y)=(2/p)-(1/x)
(1/y)=(2x-p)/(px)
y=(px)/(2x-p) ・・・・・・・・※3


(2)p=3のとき、-----回答-----------------
※1より,2 ≦ x ≦ 2 なので x=2
※3より,y=6


(3)p=5のとき、 -----回答-----------------
※1より,3 ≦ x ≦ 4

※3より
x=3のとき y=15
x=4のとき y=(20/3)・・・これは小数であり,自然数ではないので×


(4)pが3以上の素数の時、x、yは1組 ----回答-----------------

※3より (px)/(2x-p) が自然数にならなくてはいけない

pが素数なので,分母(2x-p) が1または pの倍数でなくてはならない

<背理法>ここで,もしも(2x-p)が 素数p の倍数ならば,
(2x-p)がpの倍数ならば,2xも pの倍数であり,pが素数なので xがpの倍数のはず.
しかし,※1 の x≦ p-1 より,xはpの倍数ではない.
したがって(2x-p)は 素数pの倍数ではありえない.

つまり,(px)/(2x-p) が自然数になることを満たすためには,(2x-p)=1となる場合だけである

(2x-p)=1 すなわち
x= (p+1)/2
y= p(p+1)/2
の1組である
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