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広義積分の問題です。
∮0→1x^a*(log x)^n dx a>-1
答えは
(-1)^n*n!/(1+a)^n+1
です。
どなたかわかる方お願いいたします。

A 回答 (2件)

S(n) = ∫[0..1] (x^a)(log x)^n dx と置くと、No.1 に従って、


S(n) = [ {x^(a+1)/(a+1)}(log x)^n ]_(0,1) - ∫[0..1] {x^(a+1)/(a+1)}・{n(log x)^(n-1)}(1/x)
= lim[b→+0,][ {x^(a+1)/(a+1)}(log x)^n ]_(b,1) - ∫[0..1] {x^(a+1)/(a+1)}・{n(log x)^(n-1)}(1/x)
= 0 - {n/(a+1)}∫[0..1] (x^a)(log x)^(n-1) dx
= - {n/(a+1)} S(n-1),
また、
S(0) = ∫[0..1] (x^a) dx = 1/(a+1).
以上より、
S(n) = - {n/(a+1)} S(n-1) = (-1)^2 {n(n-1)/(a+1)^2} S(n-2) = (-1)^3 {n(n-1)(n-2)/(a+1)^3} S(n-3) =
… = {(-1)^n}(n!)/(1+a)^n・S(0) = {(-1)^n}(n!)/(1+a)^(n+1).
(最後の部分は、正式には数学的帰納法によって示すべき。)
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
一度やってみます!

お礼日時:2019/07/25 16:13

いかにも部分積分しろっていってるように見えるのは私だけ?

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この回答へのお礼

部分積分はしてみたのですが、それから何したらいいのかがわからなくて。

お礼日時:2019/07/25 16:12

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