痔になりやすい生活習慣とは?

解説をお願いします。
なぜこの方針で行こうと思ったのか。
とっかかりはどっから見つけたのか。
を解説してくださるとありがたいです。

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A 回答 (3件)

Fをxの2次式とみて、平方完成することを考えます。

x²の係数が正なので、最小値が求まります。
F=8x²-8xy+5y²-24x+10y+19
=8x²-8(y+3)x+5y²+10y+19
=8{x²-(y+3)x}+5y²+10y+19
=8[{x-(y+3)/2}²]-8{(y+3)/2}²+5y²+10y+19
=8[{x-(y+3)/2}²]+3y²-2y+1
=8[{x-(y+3)/2}²]+3(y-1/3)²+2/3

(1) x=(y+3)/2のときFは最小となりますが、後半のyの2次式の部分も平方完成して、y=1/3のとき最小になることがわかります。よって、x=5/3,y=1/3のとき、Fは最小値2/3をとります。

(2) x=(y+3)/2のときFは最小となりますが、x、yが整数となるためにはyは奇数となります。
x=(y+3)/2のとき、前半部分は最小値0をとります。あとは後半部分を最小にする奇数yを見つければ良いわけですが、(y-1/3)²を最小にする奇数yは1です。よって、x=2,y=1のとき、Fは最小値2をとります。
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(1) は、知識かなあ。


微積分のほうから攻めると...
F が最小値になる条件のひつとつに ∂F/∂x = ∂F/∂y = 0 があり、
この条件は x,y の連立一次方程式になっています。
解けば最小点の候補が見つかりますから、それが最小値か確認すれば終わり。

代数から攻めると...
F は x,y について二次の多項式になっているので、
F = (x,yの一次式)^2 + (x,yの一次式)^2 + (定数) か
F = (x,yの一次式)^2 - (x,yの一次式)^2 + (定数) か
F = (x,yの一次式)^2 + (x,yの一次式) かの
どれかの形に整理できます。
具体的な整理のしかたは線形代数で習うのですが、
「二次曲線」という単元で高校でも扱っているかもしれません。
(今はやらないかな? 私のころには教科書に載ってたけど。)

(2) は、根性です。
x,y が整数であれば F も整数になるので、
(1) で求めた値域に含まれる整数を、小さい方からひとつづつ
対応する x,y があるかどうか解いてみれば、答えが判ります。

具体的な整数 n について「F = n となる x,y を求めよ」というような
問題は、数I でお馴染みのはずです。定数項を両辺へ適当に振り分けて
因数分解...という例のアレですね。
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こういう問題が解き方と練習になると、出題者が経験から導き出したものですね。

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