出産前後の痔にはご注意!

この問題がわかりません。
解説付きで丁寧に教えてくださったらうれしいです。

さいころを振り、出た目を足していく。その合計が3の倍数になったらゲーム終了とする。
自然数nに対し、n回目にさいころを振った時に、このゲームが終了する確率をPnとする。
次の問に答えよ。

(1)P1,P2,P3を求めよ。

(2)Pnを求めよ。

(3)n回以内にゲームが終了しない確率が0.1以下、となるような最小の自然数nを求めよ。

(1)までは求めています。
(1)から(2)までのつなげ方がいまいちよくわかりません。
時間があまりないので解説をしっかりしてくださったらうれしいです。

A 回答 (6件)

難しく考える必要はない


(1)は(2)の小手調べになっている
・P1は簡単
・P2は1回目(合計)で3の倍数とはならずに2回目の目で合計が3の倍数となるケースで
場合の数を樹形図をイメージして調べるなら、
1回目が3の倍数以外の目の4通り、
2回目は足して3の倍数になる目の2通りというように、
1回目から2回目にうつるとき各々2通りずつに枝分かれする
ゆえにその場合の数は、4x2通り
∴p2=4x2/6x6=(4/6)x(2/6)
ここで、(4/6)は1回目に目の和が3の倍数とならない確率、(2/6)は次の目で合計が3の倍数となるような目が出る確率である
・P3は、1回目2回目ともに合計が3の倍数とはならずに3回目の合計が3の倍数となるケースで
場合の数を樹形図をイメージして調べるなら、
1回目が3の倍数以外の目の4通り、
2回目は足して3の倍数にならないような目の出方が4通り
3回目は足して3の倍数になるような目の出方が2通り
というように、1回目から2回目にうつるとき各々4通りずつに枝分かれして、2回目から3回目にうつるときは各々2通りずつに枝分かれしている
ゆえにその場合の数は、4x4x2通り
∴P3=4x4x2/6x6x6=(4/6)²x(2/6)
(4/6)²は1,2回目ともに目の和が3の倍数とならない確率、(2/6)はその次の目で合計が3の倍数となるような目が出る確率である
(何ならP4も考えてみるともう少し状況がはっきりするかも・・・ご自分でやってみて)
ちなみにゲームが終了していないという事は、その時点での目の合計は3の倍数より1大きい数であるか、3の倍数より2大きい数である。
だから次の1回のさいころ投げで、目の合計が3の倍数となりゲームが終わるような目のでる確率は(2/6)、
次の1回で目の合計が3の倍数とならず、ゲームがつづくような目のでる確率は(4/6)である
以上のことから推測できる通り、ゲームが続く確率は(4/6)x(4/6)x(4/6)x・・・x(4/6)と表され
ゲームが終了するときは最後に確率(2/6)を掛け算することになる
この事は確率の積を理解している人にはここまで詳しく書かなくても理解できること

従って、これをnを使って表わすなら
n回目にゲーム終了という事はn-1回ゲームが続くという事だから
n-1回ゲームが続く確率は、(4/6)^(n-1)
そしてその次の回でゲーム終了となる確率はこれに(2/6)を掛ければ良いから
Pn={(4/6)^(n-1)}x(2/6)={(2/3)^(n-1)}x(1/3)=2^(n-1)/3^n
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BAYさんありがとう その通りです


あつくて頭が回っていません・・・
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NO.1さん


n-1回目にさいころを振った時に、このゲームが終了しない確率は
1-P(n-1)-P(n-2)-P(n-3)…-P1ですよね。
P(n)=[1-{P(n-1)}]x(1/3)だとP1=1/3、P2=2/9はいいけど。P3=7/27、P4=20/81でP1+P2+P3+P4=86/81で100%超えてしまいます。
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先ほどの計算の途中で、


n回以内にゲームが終了しない確率=(2/3)^nなので、
(2/3)^n≦0.1⇨10×2^n≦3^n
となる最小の自然数nは、n=6のとき、初めて640≦729となるので、
答えは6です。
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サイコロの目を3で割った余りで分けると、それぞれ余り無し、余り1、余り2が、1/3ずつです。


従って、最初の1回で終了する確率P1=1/3、2回目で終了する確率P2は、1回目で余り1の確率1/3、余り2の確率1/3に、2回目に余り2の確率1/3、余り1の確率1/3をそれぞれ掛けて、P2=(1/3)×(1/3)+(1/3)+(1/3)=2/9です。
ここで、n回目に終了しないとき、出た目が余り1でも2でも、次に終了する確率は、1/3になるので、P2=(2/3)×(1/3)=2/9
P3=(2/3)×(2/3)×(1/3)=4/27となり、n回目に終了する確率Pnは、
n-1回までに終了しない確率×(1/3)
=(2/3)^(n-1)×(1/3)
= 2^(n-1)/3^n
であることがわかります。
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P(n)はn回目にさいころを振った時に、このゲームが終了する確率


nをn-1に置き換えれば
P(n-1)はn-1回目にさいころを振った時に、このゲームが終了する確率
という事は、n-1回目にさいころを振った時に、このゲームが終了しない確率は
1-{P(n-1)}
これはn-1回目終了時点で、目の和が3k+1または3k+2(kは整数)になる確率と言う意味だから
その状態で次に出た目を足すとゲームが終了となる確率がP(n)という事です
次に出た目を足して和が3の倍数となる確率は2/6=1/3だから
P(n)=[1-{P(n-1)}]x(1/3)
後は、数列で学習した要領で漸化式を解くだけ
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