〇a, bを実数として、P＝a⁴－4a²b＋b²＋6b とおくとき、 すべての実数aに対して、P≧0

〇a, bを実数として、P＝a⁴－4a²b＋b²＋6b とおくとき、
すべての実数aに対して、P≧0となるようなbの値の範囲を求めよ。
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写真は授業中にとった板書です。急いでとったので解説を聞くのを疎かにしてしまいました。どなたか解説してくれませんか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/27 14:17

場合分けした理由が書いてありませんね。

答案としては不要ですが、解説としては、そこが重要です。
たぶん、先生は板書しながら口で言っていただろうと思います。

P を a^2 の関数と見た時点で、a^2 の変域に注意する必要が生じます。
関数は、式と定義域がセットでひとつのものですからね。
a は任意の実数なので、a^2 の変域は a^2≧0 です。
つまり、緑字のコメントの時点で、この問題は、
　　P = x^2 - 4bx + b^2 + 6b ただし x≧0 のとき
　　常に P≧0 となるような b の値の範囲を求めよ。
という問題に置き換えられているのです。

定義域を制限された二次関数の値域を求める問題は、定番ですね。
二次関数の軸と定義域の端の位置関係で場合分けして考えます。
今回は P = (x - 2b)^2 + (-3b^2 + 6b) なので、
軸 x = 2b と定義域の端 x=0 の位置関係で場合分けして P の最小値を求め、
それが ≧0 となるような b の範囲を求めればいいのです。

そこで、(i)(ii)の場合分けになります。
(i)の場合は、定義域が軸を含むので、P の最小値は x = 2b のとき。
その値は -3b^2 + 6b です。これが ≧0 であればすべての P が ≧0 になります。
(ii)の場合は、軸が定義域を外れて左のほうにあるので、P の最小値は x = 0 のとき。
その値は b^2 + 6b です。これが ≧0 であればすべての P が ≧0 になります。

要するに、求めるべき b の条件は
2b ≧ 0 の場合は -3b^2 + 6b ≧ 0,
2b < 0 の場合は b^2 + 6b ≧ 0.
となりました。
(2b ≧ 0 かつ -3b^2 + 6b ≧ 0) または (2b < 0 かつ b^2 + 6b ≧ 0)
を整理して、写真のような「答え」になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
わかりやすすぎ☺️
先生とかやってるんですかね…⭐️

お礼日時：2019/07/29 21:52

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/07/27 13:54

平方完成した残りのー３ｂ²＋６ｂ≧０であればよい。

このｂの範囲は
－３ｂ（ｂ－２）≧０から、０≦ｂ≦２
図の(i)と(ii)を同時に満たすのは０≦ｂ≦２
です。