大学数学、複素数の問題です。解き方を教えてください。

z=α（≠0)において、f(z)=|z|^2 が微分可能であるか調べよ。
ただしコーシー・リーマンの方程式ではなく、以下の定義を用いよ。

定義
z=αにおいてf(z)が微分可能　⇔　{f(z) - f(α)}/(z - α)　as　z → α　　が存在する。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/28 20:05

z の共役を z~ と書くとして、|z|^2 = z z~.

z~ は代表的な微分できない関数ですから、
|z|^2 が微分できないという結論は、すぐ判るでしょう。
それを、問題が御所望の方法で示せば良いわけです。

z - α = r e^(iθ), (r,θは実数) と置くと、
f(z) = |α + r e^(iθ)|^2 = (Reα + r cosθ)^2 + (Imα + r sinθ)^2
= |α|^2 + r^2 + 2r{ (Reα)cosθ + (Imα)sinθ }
より、
{ f(z) - f(α) }/(z - α) = re^(-iθ) + 2{ (Reα)cosθ + (Imα)sinθ }e^(-iθ).

r→0 のとき、右辺第２項は θ の値によって異なる値へ収束するから、
{ f(z) - f(α) }/(z - α) は z→0 に対しては収束しない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。理解できました。

お礼日時：2019/08/06 11:37

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/07/28 20:04

コーシー・リーマンの方程式の導きかたを理解していますか?

単にその証明をそのまま行えばよいのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2019/08/06 11:35