数学です。 習わないまま、夏休みの宿題で出ました。 難しいです。 教えてください！

数学です。
習わないまま、夏休みの宿題で出ました。
難しいです。
教えてください！

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/28 21:16

どうしても(3)、どうして、7じゃ出来ないのでしょうか(汗)

＞
例えば
ラーメン⇒麺類　について
ラーメングループには 醤油ラーメン、味噌ラーメン、とんこつラーメン　などが含まれます（ラーメンは、便宜上この3種類しかないとします）
一方、麺類グループには、醤油ラーメン、味噌ラーメン、とんこつラーメンにくわえて、そば、うどん、なども含まれます
（便宜上、麺類はこの5種類しかない物とします）
ラーメングループに含まれるものは必ず麺類グループにも属しますよね
このように左の条件（左のグループ）に属するならば、必ず右の条件（右のグループ）に属する
と言う場合、
ラーメン⇒麺類　が成り立つ（ラーメン⇒麺類は真）
というのです。

反対に
麺類　⇒ラーメンについて
仮に、麺類のグループに含まれるものであれば必ず、ラーメンのグループにも含まれるという状態なら
麺類　⇒ラーメン　は真と言えます
でも、実際は　麺類グループに含まれる　醤油ラーメンなどは、らーめんグループにも含まれますが、
麺類グループのうどん、そばはラーメングループからはみだすことになりますよね
だから、麺類グループの一部について　麺類　⇒ラーメン　が成り立っていますが
麺類グループのすべてについて　麺類　⇒ラーメン　　が成り立っているとは言えないのです
このようなはみ出しを、左グループ（左の条件）に含む場合
麺類　⇒ラーメン　が（常に）成り立つとは言わないのです（このケースを　偽　と言います）

（３）も　麺類　⇒ラーメン　と同じことです
左の条件x²=49のグループに含まれるのは、前に述べた通りx=7とx=-7です
一方右の条件（右グループ）に含まれるのは　x=7だけです。
だから、左の条件の1部（ｘ＝７）については
x²=49→x=7がなりったっていますが
x=-7は右グループからはみ出ているので
左のグループに含まれるもののすべてが、右のグループにも含まれることにはならず
x²=49→x=7　が完全に成り立つ（真）　とは言えないのです
ということで、反例x=-7が存在する(3)は偽です

No.8 回答者： yfjmt 回答日時： 2019/07/29 10:33

言葉だけでなく、集合でも確認をすると、間違いは少なくなります。

ｐ、ｑを満たす集合をP、Qとすると
ｐならば（⇒）ｑが真は、　P⊂Q　と同じです。
ｐ：ｘ＝２　なので　P＝{２}
ｑ：ｘ＾２＝４　なので　Q＝{－２、２}
明らかにP⊂Q　なので、　ｐ⇒ｑ　つまり　ｘ＝２⇒ｘ＾２＝４は真です。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/29 08:20

>これは論理学の定義のせいです。

それは言い過ぎかな。

命題が全称命題かどうかは本来明確に記述すべき。
「あらゆるxに対して」、「全てのxに対して」
「任意のxに対して」、∀x

とかけば済むことを省略するのは、
あまり誉められたことではない。厳密性に欠けます。

No.6 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/07/29 05:06

これは論理学の定義のせいです。

x^2=49なら、x=7と言えば、半分ぐらいは当たるので、
実際の世界では「x^2=49なら、x=7」はかなり役に立つ知識です。
しかし、論理学では、あいまいな議論を排除するために、一つでも反例がある場合は
「x^2=49⇨x=7」の「⇨」を使わないことにきめたのです。
議論するときはこの定義を守って議論するという取り決めです。
世界中に通用する取り決めなので、オレはオレ流でやるというのは通用しません。
1＋１=2のような知識でも、定義によって決められているのです。
定義を知らないままでは、数学の議論は始められません。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/29 03:59

＞どうしても(3)、どうして、7じゃ出来ないのでしょうか

「P⇒Q」は「PならばQ」と読み、
「Pが真であればQも真であると言ってよい」という意味です。

(3)ですが、
x^2=49 であれば x=-7 だと言ってよいでしょうか？
よくありませんね。
x^2=49 だけど x=7 ではないという例、x=-7 があります。
こういうのを、x=-7 は「x^2=49 ⇒ x=7」の反例であるといいます。
x^2=49 であっても x=7 だとは言いきれないので、
「x^2=49 ⇒ x=7」は偽です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/28 20:29

「P⇒Q」は「PならばQ」と読み、

「Pが真であればQも真であると言ってよい」という意味です。
問題を見てみましょう。
(1)
x=2 であれば、x^2=4 は成り立ちます。
x=2 だけど x^2=4 ではないという事態は生じませんね？
つまり「x=2 ⇒ x^2=4」は真です。
(2)
x=-3 であれば、x^2=9 は成り立ちます。
x=-3 だけど x^2=9 ではないという事態は生じませんね？
つまり「x=-3 ⇒ x^2=9」は真です。
計算間違いすれば生じるって？ (笑
(3)
x^2=49 ならば x=-7 だと言えるでしょうか？
言えません。
x^2=49 だけど x=7 ではないという例、x=-7 があります。
こういうのを、x=-7 は「x^2=49 ⇒ x=7」の反例であるといいます。
x^2=49 であっても x=7 だとは言いきれないので、
「x^2=49 ⇒ x=7」は偽です。
(4)
これも(1)(2)と同じですね。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/28 19:00

「⇒」は　「ならば」　と言う言葉に置き換えてみると考えやすくなるかも

左の条件のもとでは、必ず右の条件が成り立つ場合が　真で
左の条件のもとでは、必ずしも右の条件が成り立つとはいえない場合が　偽です

例えば　金魚⇒魚　は、金魚は魚の一種だから
左の条件なら必ず右の条件に当てはまるので　真です
一方　魚⇒金魚は　偽です
何故なら、魚には金魚の他に、鯉、鮎、鮭などがあるので
左の条件を言い換えると「　金魚、または鯉、鮎、鮭・・・のいずれかならば」ということを示しています
このとき必ず右の条件「金魚」に当てはまるでしょうか？
左に当てはまるものを金魚とすれば、
魚（金魚）⇒金魚はなりたちます
でも仮に　魚が鯉だとすれば
魚（鯉）⇒金魚はなりたちません
このように、（１つでも）⇒が成り立たない例があるときは　偽となります（反例は鯉）

これを踏まえて

(1)ｘ＝２と言う条件の元なら
x²=2²=4ですから、左の条件のもとでは必ず右の条件が成り立ちます　
よって真


(2) (1)と同様で x=-3なら
x²=(-3)²=9だから
左の条件のもとでは必ず右の条件が成り立ちます　
よって真

（３）　ｘ²=49を解くとx=±７
つまり左の条件は [xがｰ7もしくは+7ならば]　という事になります
このとき　右の条件が必ず成り立ちますか？
金魚の例と同じで
ｘ²=49（言い換えればx=7)⇒x=7は成り立ちますが
ｘ²=49（言い換えればx=-7)⇒x=7は成り立ちません。
反例(成り立たない例）x=-7が存在するので　答えは偽です


(4) この要領で真偽を考えてみてください

この回答へのお礼

すごく分かりやすかったです！
ありがとうございます！！！
でも、どうしても(3)、どうして、7じゃ出来ないのでしょうか(汗)

お礼日時：2019/07/28 20:32

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2019/07/28 18:49

122ページの説明を 予習してみて下さい。

x=2 ならば、x²=4 となりますから、「真」となります。
逆に x²=4 ならば、x=2 だけでなく x=-2 も 該当することになりますね。

⇒ の矢印は、左から 右への 一方通行の 記号です。