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この計算がよくわかりません

dx/dt とdy/dt がなぜこのような式になっているのか、誰かわかりやすくお願いします

「この計算がよくわかりません dx/dt 」の質問画像

A 回答 (2件)

定理:(f(t)g(t))'=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)を利用する


x=ye^ーγtとおき、さらにy=f(t),e^ーγt=g(t)としてこの定理に当てはめると
x=f(t)g(t)だがら これをtで微分したものは
dx/dt=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)
={y'・e^ーγt}+y(e^ーγt)'…①
ここで更に、Y=(e^ーγt),u=ーγtとおくと
Y=(e^ーγt)=e^u
dY/du=(e^u)'=e^u
du/dt=(ーγt)'=ーγ
だから、定理dY/dt=(dY/du)(du/dt)を用いて
(e^ーγt)'=Y'=dY/dt=(dY/du)(du/dt)=e^u・(-γ)=(e^ーγt)・(-γ)…②
よって②を用いて、①の最後尾を書きかえると
①={(dy/dt)・e^ーγt}+y(e^ーγt)・(-γ)
={(dy/dt)・e^ーγt}-γy(e^ーγt)

2つ目も同じ要領で、(dy/dt)・e^ーγtに(f(t)g(t))'=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)を
γy(e^ーγt)に(f(t)g(t))'=f'(t)g(t)+f(t)g'(t)を それぞれ当てはめる
必用なら2番目の定理も利用
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます!

お礼日時:2019/08/15 14:36

「関数の積の微分」はご存知ですね?



[f(x)・g(x)]' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)    ①

というやつ。

y = f(t)
e^(-γt) = g(t)
として、そのまま①を使えばよいだけです。

関数や変数が「x」だったり「t」だったりするのに惑わされないように。
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この回答へのお礼

関数や変数が多くて少し混乱してます、参考にさせてもらいます、ありがとうございます!!

お礼日時:2019/08/15 14:36

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