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画像の定理(1枚目)の注(2枚目)の言っていることに関して、
この結果Fが不定積分ならば、次のように書けるわけである。
F(x)=∫(a→x)F`(t)dtとあるのですが、この等式は定理によるとほとんど至ることろで成り立つのではないのですか?
F(x)=∫(a→x)F`(t)dtは閉区間[a,b]で常に等しいということを言っているのではないのですか?
注の言っていることがわかりません。

「ルベーグ積分」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 「ルベーグ積分」の補足画像1
      補足日時:2019/07/31 01:09
  • この画像のF(x)を不定積分とよんでいます。

    「ルベーグ積分」の補足画像2
      補足日時:2019/07/31 01:12

A 回答 (3件)

ほとんど等しい2つの関数の積分は等しいということを


使っているだけです。
[a、b]でF’(t)=f(t)(a.e)ということは
a≦x≦bとしたとき
[a、x]でもでF’(t)=f(t)(a.e)ということです。
だから、この2つの[a、x]での積分は一致します。
したがって
f(t)の[a、x]での積分はF(x)だから注のとおりになります。
当然この注の関係はa≦x≦bのすべてのxについて成立ちます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます
基本的なことを忘れていました。

お礼日時:2019/08/11 01:34

集合


A={x;F'(x)≠f(x)}

測度
μ(A)=μ({x;F'(x)≠f(x)})=0
の時
ほとんど至ところで
F'(x)=f(x)
が成り立つ
というのです
だから
{A_k}_{k=1~n}を[a,x]の分割とすると
[a,x]=∪_{k=1~n}A_k
t_k∈A_k

∫(a→x)F'(t)dt=lim_{n→∞}Σ_{k=1~n}F'(t_k)μ(A_k)
だから

F'(t_k)≠f(t_k)のt_k∈A_kところではμ(A_k)=0となるので


F(x)=∫(a→x)F'(t)dt
は閉区間[a,b]で常に等しい
であって
成り立たないところはありません
ほとんど至ところで成り立つ等などとはいっていませんが
常に成り立つならばほとんど至ところで成り立つといっても間違いではありません

ほとんど至ところで
F'(x)=f(x)
が成り立つといっているだけです
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この回答へのお礼

ありがとうございます
基本的なことを忘れていたのに気が付きました

お礼日時:2019/08/11 01:34

F(x)=∫(a→x)F'(t)dtは閉区間[a,b]で常に等しい


であって
成り立たないところはありません
ほとんど至ところで成り立つ等などとはいっていませんが
常に成り立つならばほとんど至ところで成り立つといっても間違いではありません

ほとんど至ところで
F'(x)=f(x)
が成り立つといっているだけです
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