痔になりやすい生活習慣とは?

X∈R^nはn次元の多変量正規分布に従うとします。t、μはn次元ベクトルでΣはn次元の不定値対称行列とします。^Tは転置の記号です。n次元の多変量正規分布に従うというのは、積率母関数M_X(t)が

M_X(t)=exp{(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σt}

であると定義します。この時、平均ベクトルがμ、分散共分散行列がΣであることを示したいのですが、途中でつまづいています。

自分が考えた範囲としてe^xのテイラー展開を考えたら

e^x=1+x+(1/2)x^2+…=1+x+(1/2)<x・x>+…(・は内積を表す)

となるので、(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σtはスカラー(1次元ベクトル)なのでx=(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σtをe^xのテイラー展開に代入すると

exp{(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σt}=1+(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σt+(1/2){(μ^T)t+<(1/2)(t^T)}・{(μ^T)t+(1/2)(t^T)}>

となります。t_1,t_2,…,t_nが2次以下のところのみを考えると

M_X(t)=exp{(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σt}=1+(μ^T)t+(1/2)(t^T)(Σ+μμ^T)t+…

となります。右辺をtで1回微分すると

μ+(Σ+μμ^T)t+…

となりt=0を代入するとE[X]=μとなるのが分かります。さらにtでもう1回微分すると

Σ+μμ^T+…

となりt=0を代入するとE[X^2]=Σ+μμ^Tとなります。

ここから先はどのように計算すればよいのでしょうか?

A 回答 (1件)

> 平均ベクトルがμ、分散共分散行列がΣであることを示したい



できてるんじゃ?
  Σ = E[X^2] - E[X](E[X])^T
だし。
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この回答へのお礼

1次元での積率母関数の公式しか知らず、「Σ = E[X^2] - E[X](E[X])^T」を知らず、E[X^2] - (E[X])^2で計算しようとしており、E[X]はベクトルなので2乗できないのでつまづいていました。

ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2019/08/03 19:56

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