X∈R^nはn次元の多変量正規分布に従うとします。t、μはn次元ベクトルでΣはn次元の不定値対称行列とします。^Tは転置の記号です。n次元の多変量正規分布に従うというのは、積率母関数M_X(t)が
M_X(t)=exp{(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σt}
であると定義します。この時、平均ベクトルがμ、分散共分散行列がΣであることを示したいのですが、途中でつまづいています。
自分が考えた範囲としてe^xのテイラー展開を考えたら
e^x=1+x+(1/2)x^2+…=1+x+(1/2)<x・x>+…(・は内積を表す)
となるので、(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σtはスカラー(1次元ベクトル)なのでx=(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σtをe^xのテイラー展開に代入すると
exp{(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σt}=1+(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σt+(1/2){(μ^T)t+<(1/2)(t^T)}・{(μ^T)t+(1/2)(t^T)}>
となります。t_1,t_2,…,t_nが2次以下のところのみを考えると
M_X(t)=exp{(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σt}=1+(μ^T)t+(1/2)(t^T)(Σ+μμ^T)t+…
となります。右辺をtで1回微分すると
μ+(Σ+μμ^T)t+…
となりt=0を代入するとE[X]=μとなるのが分かります。さらにtでもう1回微分すると
Σ+μμ^T+…
となりt=0を代入するとE[X^2]=Σ+μμ^Tとなります。
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