正規分布と円周率

統計に円などはどこにも出てこないのになぜ正規分布の式の中にΠが出てくるのかふしぎです。何か図形で示めせるものがあるのでしょうか。またｅも出てくるので回転などに関係がつけられるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： mmky 回答日時： 2004/12/13 09:41

参考に

exp(-x^2)　の e (exp)は単なる指数です。
x^2 は正方形の面積でしょう。正方形の面積の（負）の指数を取っているだけですね。何故、正方形が円になってしまうのかということではないかと思います。このままでは数学的になんともならないので、ガウス先生、｛exp(-x^2)｝^2≡exp-(x^2＋y^2) とこれ(x^2＋y^2)は、円の式にしたんですね。つまり正方形の面積を円の面積に置き換えたということですね。従ってxが無限大の時のみ｛exp(-x^2)｝^2　は１/4 単位円の面積と同じに成るということです。
{∫[-∞,∞]exp(-x^2)dx}^2 = π 　場合は、長方形を半円で計算したということですね。ということで途中経過は円ではなく、あくまで正方形とか長方形なんです。結果として円の面積にはなりますが、その平方根に円の意味は無いのですね。

この回答へのお礼

難しそうですが勉強の指針を与えていただいた感じがします。何やら円積問題とも関係のありそうな話で理解できるかどうか不安ですががんばってみます．ありがとうございました。

お礼日時：2004/12/13 12:07

No.1 回答者： yaksa 回答日時： 2004/12/12 23:17

なぜ？と聞かれれば、ガウス積分が、

∫_[-∞,∞]exp(-x^2)dx = √π
となるから、と答えるしかないわけですが、
じゃあ、この式がなぜ成り立つのか？と言われるとちょっと困ります。
もちろん、数学的に示すこと自体は容易（大学１年範囲）ですが、kaitaradouさんの履歴を見させていただく限りもっと深い（哲学的な？）理由を知りたいってことですよね？

実は、この疑問はみんな持つようで、熱力学・流体力学では必ず出てくるケルビン卿（数学者というよりはエンジニアですね）は、
「数学者とは
∫_[-∞,∞]exp(-x^2)dx = √π
を 1+1=2 と同様に自明だと思っている人のことである」
と言ったとか。

この回答へのお礼

適切なご助言をありがとうございます。図形的に何か意味づけが可能かと思ったものですから。ご示唆を手がかりに勉強してみたいと思います。

お礼日時：2004/12/13 06:26