痔になりやすい生活習慣とは?

数Ⅲの定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
∫[1,n]log(x) dx<log1+log2+…+logn<∫[0,n]log(x+1) dx を証明せよ。

という問題なのですが、この問題って中辺はn-1個の長方形の面積の和で

y=log(x)とy=log(x+1)のグラフを書けば図より明らかになってしまいます。

しかし、グラフはイメージなので分かりやすい反面、限りがある範囲しか図示できず、正確性に欠ける気もします。


もっと良い証明方法はないでしょうか?分かる方おられましたら何卒ご教授いただければ幸いです。

A 回答 (2件)

n≧2


k=1~n
に対して
k<x<k+1
の時logxは増加関数だから
logk<logx<log(k+1)
↓各辺をk~k+1まで積分すると
∫_{k~k+1}logkdx<∫_{k~k+1}(logx)dx<∫_{k~k+1}log(k+1)dx
logk∫_{k~k+1}dx<∫_{k~k+1}(logx)dx<log(k+1)∫_{k~k+1}dx
logk<∫_{k~k+1}(logx)dx<log(k+1)
↓各辺をk=1~nまで加えると
Σ_{k=1~n}logk<Σ_{k=1~n}∫_{k~k+1}(logx)dx<Σ_{k=1~n}log(k+1)
Σ_{k=1~n}logk<∫_{1~n+1}(logx)dx<Σ_{k=1~n}log(k+1)
Σ_{k=1~n}logk<∫_{1~n+1}(logx)dx<Σ_{k=1~n+1}logk…(1)
↓左辺と中辺から
Σ_{k=1~n}logk<∫_{1~n+1}(logx)dx
↓∫_{1~n+1}(logx)dx=∫_{0~n}log(x+1)dxだから
Σ_{k=1~n}logk<∫_{0~n}log(x+1)dx…(2)

(1)の中辺と右辺から
∫_{1~n+1}(logx)dx<Σ_{k=1~n+1}logk
nをn-1に置き換えると
∫_{1~n}(logx)dx<Σ_{k=1~n}logk
↓これと(2)から

∫_{1~n}(logx)dx<Σ_{k=1~n}logk<∫_{0~n}log(x+1)dx
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この回答へのお礼

すごいです!!ありがとうございます。感謝申し上げます。!!

お礼日時:2019/08/08 00:27
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