数Ⅲの定積分の不等式の証明問題を教えて下さい。∫[1,n]log(x) dx＜log1＋log2＋…

数Ⅲの定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。

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∫[1,n]log(x) dx＜log1＋log2＋…＋logn＜∫[0,n]log(x+1) dx を証明せよ。

という問題なのですが、この問題って中辺はn-1個の長方形の面積の和で

ｙ＝log(x)とｙ＝log(x+1)のグラフを書けば図より明らかになってしまいます。

しかし、グラフはイメージなので分かりやすい反面、限りがある範囲しか図示できず、正確性に欠ける気もします。


もっと良い証明方法はないでしょうか？分かる方おられましたら何卒ご教授いただければ幸いです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/08/07 01:02

本質的に

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11218108.html
と同じ.

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/07 05:58

n≧2

k=1～n
に対して
k<x<k+1
の時logxは増加関数だから
logk<logx<log(k+1)
↓各辺をk～k+1まで積分すると
∫_{k～k+1}logkdx<∫_{k～k+1}(logx)dx<∫_{k～k+1}log(k+1)dx
logk∫_{k～k+1}dx<∫_{k～k+1}(logx)dx<log(k+1)∫_{k～k+1}dx
logk<∫_{k～k+1}(logx)dx<log(k+1)
↓各辺をk=1～nまで加えると
Σ_{k=1～n}logk<Σ_{k=1～n}∫_{k～k+1}(logx)dx<Σ_{k=1～n}log(k+1)
Σ_{k=1～n}logk<∫_{1～n+1}(logx)dx<Σ_{k=1～n}log(k+1)
Σ_{k=1～n}logk<∫_{1～n+1}(logx)dx<Σ_{k=1～n+1}logk…(1)
↓左辺と中辺から
Σ_{k=1～n}logk<∫_{1～n+1}(logx)dx
↓∫_{1～n+1}(logx)dx=∫_{0～n}log(x+1)dxだから
Σ_{k=1～n}logk<∫_{0～n}log(x+1)dx…(2)

(1)の中辺と右辺から
∫_{1～n+1}(logx)dx<Σ_{k=1～n+1}logk
nをn-1に置き換えると
∫_{1～n}(logx)dx<Σ_{k=1～n}logk
↓これと(2)から
∴
∫_{1～n}(logx)dx<Σ_{k=1～n}logk<∫_{0～n}log(x+1)dx

この回答へのお礼

すごいです！！ありがとうございます。感謝申し上げます。！！

お礼日時：2019/08/08 00:27