|x|<1,|y|<1,|z|<1を満たす実数x,y,zが存在するとき、 (1)1+xy+yz+zx

|x|<1,|y|<1,|z|<1を満たす実数x,y,zが存在するとき、
(1)1+xy+yz+zx >0を示せ。
(2)x+y+z+xyz/1+xy+yz +zx
の取り得る値の範囲を求めよ。

どうやってといたらいいですか？
ご教示願います

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/08/10 12:15

(１) x,y,zが同符号のときは明らか。

x,y,zが異符号のものを含むときについて考えます。(０が2つ以上含まれているときは明らか。０が1つ含まれているときは、残りの2つが、同符号か異符号かで考えられます。)

x+y+z=k とします。
xy+yz+zx=1/2(xy+yz+zx+xy+yz+zx)
=1/2{(x+z)y+(z+y)x+(y+x)z}
=1/2{(k-y)y+(k-x)x+(k-z)z}
=1/2{k(x+y+z)-(x²+y²+z²)}
=1/2{k²-(x²+y²+z²)}……①

①が最小となるのは、x,y,zが異符号のものを含んでいるので、y=n, z=-n (0<n<1)とすると、
k=x+n+(-n)=x となり、
①は、1/2{x²-(x²+n²+n²)}=-n²　(0<n²<1)
したがって、1+xy+yz+zx>0

(２) (x+1)(y+1)(z+1)=1+xy+yz+zx+x+y+z+xyz
|x|<1,|y|,1,|z|<1 より、0<x+1<2,0<y+1<2,0<z+1<2
よって、0< (x+1)(y+1)(z+1)<8
0<1+xy+yz+zx+x+y+z +xyz<8
-(1+xy+yz+zx)<x+y+z+xyz<8-(1+xy+yz+zx)
-1<(x+y+z+xyz)/(1+xy+yz+zx)<8/(1+xy+yz+zx)-1
したがって、(x+y+z+xyz)/(1+xy+yz+zx)>-1

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/08/10 12:17

No.1 回答者： randomcreator 回答日時： 2019/08/08 18:05

(1)

1＋xy＋yz＋zx
=(y＋z)x＋yz＋1

これをxの一次関数ととらえると、(y＋z)x＋yz＋1はx=1を代入したときの値と、x=－1を代入したときの値の、小さい値以上大きい値以下の値をとる。

ここで、(y＋z)x＋yz＋1にx=1を代入すると、

yz＋y＋z＋1
=(y＋1)(z＋1)>0

x=－1を代入すると、

yz－y－z＋1
=(y－1)(z－1)>0

より、

(y＋z)x＋yz＋1は0より大きい値を取るはずである。

よって1＋xy＋yz＋zx>0

意味わかった？

この回答へのお礼

わかりました

お礼日時：2019/08/08 18:06