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この問題どなたか解説してくださいませんか?

「この問題どなたか解説してくださいませんか」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • rを正の実数として、数列a(n)を次のように定める。
    a(n)=Σ(kは1→n)=√k*r^n-k(n=1,2,3…)

    (1)a(n+1)-r*a(n)をnを用いて表せ。

    (2)r>1とする。このとき、lim(n→∞)√n/r^n=0を示せ。
    さらに、lim(n→∞)a(n+1)/a(n)を求めよ。

    (3)0<r<1とする。このとき、任意の自然数nに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。
    0<=Σ(k=0→n-1)r^k-a(n)/√b
    <=1/n*Σ(k=0→n-1)k*r^k
    さらに、
    lim(n→∞)a(n+1)/a(n)を求めよ。


    式が分かりづらかったら直ちに補足いたします。
    どなたか教えていただけないでしょうか

      補足日時:2019/08/09 00:07

A 回答 (4件)

(3)


記号が錯綜して読みづらくなるので、方針だけ...。
Σ(k=0→n-1)r^kは=1+Σ(k=1→n-1)r^k とわける。
a(n)=Σ(k=1→n)√k*r^n-kは=Σ(k=1→n-1)√k*r^n-k+√n とわける。
すると
Σ(k=0→n-1)r^k-a(n)/√n=Σ(k=1→n-1)r^k-Σ(k=1→n-1)√(k/n)*r^n-k
k/n≦1なので√(k/n)≧k/n これをつかうと
Σ(k=1→n-1)r^k-Σ(k=1→n-1)√(k/n)*r^n-k
≦Σ(k=1→n-1)r^k-Σ(k=1→n-1)(k/n)*r^n-k=1/n*Σ(k=1→n-1)k*r^k
となって(3)の不等式の右の≦が出てくる。
で極限値の方だけど、
Σ(k=1→n-1)k*r^kは公式があって
(1-r)*Σ(k=1→n-1)k*r^k=Σ(k=1→n-1)r^k+(n-1)r^n になる。
これと0<r<1からn→∞のとき
1/n*Σ(k=1→n-1)k*r^k→0だから
a(n)/√nは(3)の不等式からはさみうちの原理によりr/(1-r)に収束する
ゆえに(1)の結果から
lim(n→∞)a(n+1)/a(n)=(r²-r-1)/r
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2019/08/13 16:15

ひとつききたいんだけど


あなたの(3)の文章中の√bってなんのこと?
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考えなければならないこと。


ぱっと見、何のことやら判らない、とちゃんと感じること。これ大事。
ぱっと見で判らない物だ、くらい判断できる程度には勉強してないとダメ、ということでもある。
出題者は、ぱっと見で全く見当が付かない問題を出題しているということ。
それを、何とかの解法がぁという考え方では、手も足も出ない、そういう連中を叩き落とすように意図している。
だから、鶏ガラや豚骨を一生懸命囓っているようでは、こういう問題が解けない。
それを言い換えたのが、「偏差値60の壁」です。
何とかの解法を覚えただけ、解法が解法が、だと、この手の問題はもう解けない、難関大学は無理、ということ。ここは明確に分かれる。鶏ガラや豚骨を囓るのをやめるのかどうか、どこに受かりたいのか、きちんと決めよう。東京理科大の工学部理工学部志望です、なら、余程難易度の高いところでも無い限り、この手の問題を解く必要は無い。
出ないし出ても解けなくて良い、卒業生も大概解けない。


何だか判らないので、悪あがきをしなければならない。
どうするか。
具体的に数値を当てはめてみる。あなたが言ったこと。様子を見てみる。
勿論『 Σ は バ ラ す 』。
n=1
a₁=(√1)(r⁰)
=1

n=2
a₂=(√1)(r¹)+(√2)(r⁰)
=r+√2

n=3
a₂=(√1)(r²)+(√2)(r¹)+(√3)(r⁰)
=r²+(√2)r+√3

まぁそんな感じで、誘導に乗ってみるか。
(1)
aₙ₊₁=(√1)rⁿ+(√2)rⁿ⁻¹+(√3)rⁿ⁻²+・・・・+(√n)r¹+{√(n+1)}r⁰
aₙ=(√1)rⁿ⁻¹+(√2)rⁿ⁻²+(√3)rⁿ⁻³+・・・・+{√(n-1)}r¹+{√(n)}r⁰
raₙ=(√1)rⁿ+(√2)rⁿ⁻¹+(√3)rⁿ⁻²+・・・・+{√(n-1)}r²+{√(n)}r¹
とちゃんと「書き出してみる」。
aₙ₊₁-raₙ=(√1)rⁿ-(√1)rⁿ+(√2)rⁿ⁻¹-(√2)rⁿ⁻¹+(√3)rⁿ⁻²-(√3)rⁿ⁻²+・・・・+(√n)r¹-{√(n)}r¹+{√(n+1)}r⁰
=√(n+1)

(2)は忘れたんで色々カンニング。また、何かと端折ってる。
rⁿ>1+nh
1/rⁿ<(√n)/rⁿ<(√n)/(1+nh)={1/(√n)} / {1/n+h}
nを無限大にすると、{0} / {0+h}=0、1/rⁿ=0
0<(√n)/rⁿ<0
lim(√n)/rⁿ=0
もっとすんなりできるのかもしれないけど忘れた。

aₙ₊₁=(√1)rⁿ+(√2)rⁿ⁻¹+(√3)rⁿ⁻²+・・・・+(√n)r¹+{√(n+1)}r⁰

raₙ=(√1)rⁿ+(√2)rⁿ⁻¹+(√3)rⁿ⁻²+・・・・+{√(n-1)}r²+{√(n)}r¹
を考える。
aₙ₊₁-raₙ=√(n+1)
aₙ₊₁=√(n+1)+raₙ

aₙ₊₁/aₙ={√(n+1)+raₙ}/aₙ
={√(n+1)}/aₙ+r

n・rⁿ⁻¹>aₙ>rⁿ⁻¹
{√(n+1)}/{n・rⁿ⁻¹}<{√(n+1)}/aₙ<{√(n+1)}/rⁿ⁻¹
lim{√(n+1)}/{n・rⁿ⁻¹}=lim{√(1/n+1/n²)}/{rⁿ⁻¹}=0
lim{√(n+1)}/rⁿ⁻¹=lim{r√(n+1)}/rⁿ>lim{r√(n+1)}/(1+nh)
lim{r√(n+1)}/(1+nh)=lim{r√(1/n+1/n²)}/(1/n+h)=0
端折ってるけど。

0<lim{√(n+1)}/aₙ<0
lim{aₙ₊₁/aₙ}=r

違ってるかもしれないけれど、参考にはなるでしょう。
(3)はもうヤダ。
昔はもうちょっとスラスラできたんだろうけれど、もうすっかり忘れてるな。

で、こんな写真を三枚載せれば良いの。
画像編集はスマホでできるならスマホ側で済ませれば良い。サイトでの圧縮が酷い結果を生むんで、スマホで余白を切ったり分割したりする分には、おそらくそれほど害は無いでしょう。
「この問題どなたか解説してくださいませんか」の回答画像2
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ここに問題文の画像をアップした時は、必ず自分で自分の質問を見て、画像が見える物かどうかを確認しなければなりません。


アップする際に、サイト側で勝手に画像の圧縮をかけますので。
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この回答へのお礼

文字にしました。
可能であれば解説していただけませんか?

お礼日時:2019/08/09 00:07

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