画像の問なのですが、n⁴+2n² =3k, 3k+1, 3k+2 の形ではないのはなぜですか？

画像の問なのですが、n⁴+2n² =3k, 3k+1, 3k+2 の形ではないのはなぜですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/08/09 13:05

n⁴+2n² =3mの形にしかならない。

3m+1や3m+2の形にはなりえない、つまり必ず3の倍数になる事を証明してるわけ。

n=1；n⁴+2n²=3 (3mの形だから3の倍数）
n=2；n⁴+2n²=24 (3mの形だから3の倍数）
n=3；n⁴+2n²=99 (3mの形だから3の倍数）
n=4；n⁴+2n²=288 (3mの形だから3の倍数）
・
・
n=50；n⁴+2n²=6255000 (3mの形だから3の倍数）

これを一般のnについて証明してるわけ。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/10 22:35

いや、まあ、n^4+2n^2 = 3k, 3k+1, 3k+2 で場合分けして、

n^4+2n^2 = 3k+1, 3k+2 のときには整数 k に対応する n が整数にならない
ことを示したって悪くはありませんが...
4次方程式の解を考えることになるので、大変じゃないですかね。
写真の解答例のほうが簡単だと思います。
一般に、多項式は、根を求めるよりも代入するほうがずっと簡単です。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/09 16:29

n=3kのとき

K=3k^2(9k^2+2)
とおき
n=3k+1のとき
K=(3k+1)^2(3k^2+2k+1)
とおき
n=3k+2のとき
K=(3k+2)^2(3k^2+4k+2)
とおけば

n=3k,3k+1,3k+2のどの場合も

n^4+2n^2=3K

の形になります

n^4+2n^2=3K

の形になるのだから

n^4+2n^2=3k+1
を仮定すると

3K=3k+1
↓両辺から3kを引くと
3K-3k=1
3(K-k)=1
↓両辺を3で割ると
K-k=1/3
左辺は整数で、右辺は整数でない事に矛盾するから
n^4+2n^2≠3k+1

n^4+2n^2=3k+2
を仮定すると

3K=3k+2
↓両辺から3kを引くと
3K-3k=2
3(K-k)=2
↓両辺を3で割ると
K-k=2/3
左辺は整数で、右辺は整数でない事に矛盾するから
n^4+2n^2≠3k+2


n^4+2n^2=3K
の形にはなるけれども
3k+1
3k+2
の形ではない

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/09 13:54

証明したい事・・・nがどんな整数であってもn⁴+2n²が３の倍数となるということ

具体的には
n=1のときn⁴+2n²=1+2=3　となるのでn⁴+2n²は３の倍数
n=2のときn⁴+2n²=16+8=24　となるのでn⁴+2n²は３の倍数
n=3のときn⁴+2n²=81+18=99　となるのでn⁴+2n²は３の倍数
n=4のときn⁴+2n²=256+32=288　となるのでn⁴+2n²は３の倍数・・・（A)
・
・
・
というように、nを１つづつ大きくしていって、いずれの場合もn⁴+2n²が３の倍数となるということを示せばよいのだが
それでは、整数nがいくつもあるので多すぎて書ききれない！
そこで、文字kを使って一般化したのが画像の模範解答
（例えばn=4のときの説明は場合わけの[2]においてk=1とすればOK。
→　n⁴+2n²＝3(3k+1)²(3k²+2k+1)=3(３・１+1)²(3・1²+2・1＋１）＝3x16x6=288で確かに上に示した（A)の説明になっている）
この他の整数nについても[1][2][3]のいずれかでｋの値を適切に設定すれば、
どんな整数ｎについてもn⁴+2n²が３の倍数となることを　もれなく説明できているのです。

あなたが思う、n⁴+2n² =3k＝3x整数＝3の倍数
では　すべてのｎについてn⁴+2n² が３の倍数となることを上のように説明することは困難なのです
まして、n⁴+2n² = 3k+1やn⁴+2n² =3k+2を証明できたとすればn⁴+2n² が３の倍数ではない
（「３の倍数＋１」や「3の倍数＋２」である）ことを説明したことになりますから、問題文で問われている証明にはなっていないので不適切です
（もっとも、n⁴+2n² が３の倍数なのだから、n⁴+2n² = 3k+1＝3の倍数＋１や
n⁴+2n² =3k+2＝3の倍数＋２、
はどんなに頑張っても証明することはできないのです）