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画像の問なのですが、(x+○y)(x+○y)の形に因数分解できる時、できない時の見分け方はあるのですか?

「画像の問なのですが、(x+○y)(x+○」の質問画像

A 回答 (7件)

難しい議論がされているけど、


x^2+a(xy)+b(y^2)の形(x^2の係数が1)で、(x+○y)(x+□y)の形に因数分解が出来るかどうかは、
2数の和が a 、2数の積がbとなる整数の関係があるか無いかを考えるだけなのでは?

今回なら、a=-2、b=2で、
2数の積が2となる組み合わせは、(1,2)(-1,-2)の2通りだけど、
1+2=3、(-1)+(-2)=-3
であるから、2数の和が-2になる組み合わせは存在しない。
だから、因数分解できない。

表記したから、煩雑に見えるけど、訓練してこんなことをやって、
瞬時に、因数分解の可否を判断できる様になっていると思います。
高校受験をされているのであれば、中3で鍛錬されているかと思いますよ。
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おそらく、「前ページ 検討」には


No.2 のような話が書いてあるのではないかな。
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過去の傾向から見て、質問者が


(x+○y)(x+○y)の形に因数分解できる時、できない時の見分け方はあるのですか?
と質問していたことはウヤムヤにされて、No.1 が正解ってことになるんだろうな。
もう、慣れたよ。
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よもやとは 思いますが他の方が考えているように


x²-2xy+2y²-2x-3y+5みたいな式が、(x+○y)(x+○y)の形に因数分解できるかどうかの見分けについて質問しているのですか?
ならば答えは簡単
(x+ay)(x+by)=x²+(a+b)xy+aby²ですからこれにはxの項、yの項、定数項はありません。
x²-2xy+2y²-2x-3y+5みたいな式では、xの項や、yの項、定数項が存在するのを見ただけで
これは(x+○y)(x+○y)の形には因数分解できないと、瞬間的に判断できるはずです
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no1の回答は


画像の「指針」に沿って
x²+bxy+cy²型の因数分解について述べているようだね
no2は
例題136の式についての話かな。
果たして質問者さんはどちらの意図で質問したのだろうか?
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その疑問は、実数解をもつ ⇔ 判別式≧0 の問題ではありません。



(xとyの2次式)=0 を x の2次方程式と見て強引に(複素数の範囲で)解くと、
解の公式より、x = (yの1次式) ± √(y の2次式) という形になります。 ←[1]
左辺の (xとyの2次式) が (x+○y)(x+○y) の形に因数分解できるには、
[1]式中 の √(y の2次式) が y の一次式にならなければなりません。
√内の (y の2次式) が常に正であるだけではだめなんです。

x についての平方完成を行って、実際に √内の (y の2次式) を求め、
それが完全平方式になっているかどうかを判定すれば、
(x+○y)(x+○y) の形に因数分解できるかどうかを判定できます。
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簡単のためにyは削って


x²-2x+2で考える
これはどう頑張っても実数の範囲では因数分解できない
というのも、x²-2x+2=0の判別式Dが
D=(-2)²-4・1・2=-4<0で
この2次方程式が「実数解無」となるから
反対に、D≧0なら 2次方程式は実数解を持つので因数分解できます

要点:2次方程式が実数解を持つときその解をα、βとすれば
(x-α)(x-β)の形に因数分解できる!
(ちなみに重解のときはα=βだから(x-α)(x-β)=(x-α)²の形に因数分解できる)
反対に2次方程式が実数解を持たなければ、因数分解できない!

で文字yがある場合の考え方としては
例えば、x²-4x+3=0は実数解x=1,3を持つから因数分解できると言える(ちなみに判別式>0)
x²-4x+3=(x-1)(x-3)…①
このことから、①式にyを加えただけの形である以下の式も
x²-4xy+3y²=(x-y)(x-3y)・・②と因数分解できることがわかるのです
(②は①の右辺の定数項をyの係数とみなした形状)

したがって②式にy=1を代入してできる式①の判別式がD≧0であれば②,①ともに因数分解可能だと判断できるのです

x²-2xy+2y²では y=1を代入して
x²-2x+2
これを0とおいた時
x²-2x+2=0の判別式がD<0なので
x²-2xy+2y²
x²-2x+2
の両者とも因数分解できないと判断します
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