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数学 命題について
命題 「(qまたはp)⇒X」があるとします。
この際に、q⇒Xは真で、
p⇒Xは偽だったとします。
とすると、元の命題は真であっていますか?

単純に qまたはp なので、どちらか一方が
真なのであれば、命題自体も真になると考えました。
(もちろん または が かつ になれば、両方とも満たさなければならない)
この考え方で正しいでしょうか?

A 回答 (4件)

p,q,X が命題なのか条件なのかわかりませんので、両方の場合について考えます


(高校数学では、p,q,Xがxの条件の時、p⇒X は、「すべてのxについて、p⇒X」を意味します)。

(1)p,q,Xが命題の時。
p⇒Xが偽、ということは(仮定が真なのに、結論が偽の場合だけなので)
「pが真、かつ、Xが偽」です。
すると、(qまたはp)は真で、Xが偽ですから、(qまたは)p⇒X も偽です。

(2)p,q,Xが条件の時(ここではxに関する条件;xは整数とか、xは四角形とか、とします)
p⇒Xが偽、ということは、pを満たすけれど、Xを満たさないようなxがある、(p⇒Xの反例xがある)ということです。
このxはもちろん、pまたはq を満たします。したがって、pまたはqをみたすけれど、Xを満たしません。
これは (qまたはp)⇒X の反例になっていますから、(qまたはp)⇒X は偽です。

元の考え方について。
pまたはq は pかqのどちらかが真、まではOKです。
A⇒Bを証明するには、Aを仮定してBが出ればOKです。
なので、pまたはqを仮定してXが出ればOKです。
q⇒Xが真ですから qを仮定すればXは出ます。
ですが、pが真の時、p⇒Xは偽なので、Xがいえるかどうかはわかりませんので、ここがダメです。

条件文(⇒が付く文)は日常のニュアンスと微妙に異なるので難しいのですが
p⇒Xが偽、という仮定はとても強いので(命題なら、pが真かつ、Xは偽、
条件なら、pを満たすのにXをみたさないものがある)、こういう仮定が
ある時は、これから何がいえるか考えるとわかりやすいと思います。
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「ならば」の意味は... とか考えると、考えが変な方向へ行って、失敗しがちです。


論理式は、意味ではなく、定義に立ち戻って形式で扱うのが簡単確実でしょう。
Y⇒X の定義は、X or not Y の略記でしたね。
X or not p が真、X or not q が偽という条件下に
X or not(p or q) の真理値を計算すればいいのです。
X or not(p or q) = X or ((not p) and (not q)) = (X or not p) and (X or not q)
= 真 and 偽 = 偽.
その命題の値は、偽です。
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x:aは整数である
q:aは自然数である
p:aは分数である
とすれば

q⇒Xは真
p⇒Xは偽 (反例a=1/3)
このとき
qまたはp⇒Xは
aが自然数または分数ならばxは整数である と言う命題です
反例a=1/2などが挙げられるので
この命題は偽
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下図を見てください


q⇒Xは真とは
q⊂x
すなわちqと言う条件がxと言う条件に完全に包まれている状況です
(このとき条件qを満たす任意の要素は必ずX内にあることになるので条件xも満たします。だから真)
反対に
p⇒Xは偽ならPがxに包まれていない(Pにはxからはみ出ている部分がある)ということになります
このとき、Pを満たす条件の1部はx内にはないので
必ず(常に)p→xは成立 とはなりません
すなわちはみ出し部分を反例としてあげることが出来るので
p⇒Xは偽

これを踏まえてpまたはq(共通部分も含めpとqを合わせた部分)がX内に完全に含まれていれば、
(qまたはp)⇒Xは真ですが
p⇒Xは偽(Pがxに包まれていない)により
「pまたはq」はXからはみ出ている部分があることは明らか
従ってこの命題は偽です
「数学 命題について 命題 「(qまたはp」の回答画像1
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