背理法

√2が無理数であることを証明せよ
A有理数だと仮定する。
互いに素の自然数p.q(q≠0)を用いて、
√2=p/qと表す。
√2q=p
二乗して
2q^2=p^2
p^2は2の倍数であり、pは2の倍数である。
ここで質問があります。
p^2は2の倍数であり、pは2の倍数である。の部分です。
今回ルート2を有理数だと仮定して証明を行っています。しかし、ルート2が整数ではないことは示されていません。もちろん、常識的に整数でないことは当たり前です。でも、有理数で表した以上整数の可能性もあります。そうするとp^2が２の倍数の時、ルート2の倍数であると言えてしまいます。私には有理数かもわからない状態に対してルート2は(整数ではないから)p^2は2の倍数であり、pは2の倍数である。というのにいささか違和感があります。どこからルート2は整数ではないことがわかるのですか？それとも内容事態全く違うことなのでしょうか？
ご回答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 皆さんご回答ありがとうございます。少し私の疑問点に説明が足りないところもあり申し訳ありません。
  具体的数字をあげますが、p^2が２の倍数であるということは2 8 10等も可能です。2をとって説明しますが、pになおすとルート2となり2の倍数とはなりませんが、［p^2は2の倍数であり、pは2の倍数である]というのがまもられませんし、倍数かどうか事態ルート2が整数ではないという前提のもとで言えることでは？と思ってしまいます。ルート2が整数であるといえば、ルート2は有理数となってしまいますし、ルート2が整数でないといえば、p^2は2の倍数であり、pは2の倍数である。ということがすべてのpにたいして言えなくなると思うのです。だから、整数であるかどうかは必要なのではと思いますし、でも、整数かどうかが決まったら、証明になるのかなと違和感を感じています。
  ご回答お願いします。

    補足日時：2019/08/15 19:26

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/08/15 00:31

>2q^2=p^2

>p^2は2の倍数であり、pは2の倍数である。

ここまで進めているならもう少しです。

pは2の倍数なので、p=2kとすると、

2q^2=4k^2

となり、右辺が4の倍数になるので、q^2が4の倍数、すなわちqは2の倍数になる。
p, qが共に2の倍数になるということは、自然数p, qが互いに素であることに矛盾する。
よって、√2は無理数。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/08/15 00:34

「そうするとp^2が２の倍数の時、ルート2の倍数であると言えてしまいます。

」の後半は, 何が「ルート2の倍数であると言えてしまいます。」といいたいのでしょうか?

さておき, この証明では「ルート2は(整数ではないから)p^2は2の倍数であり、pは2の倍数である。」とはいっていません. 少なくとも「『√2 が整数でない』から p^2 は 2 の倍数である」などとはどこでも主張していません.

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2019/08/15 02:13

確かに、

「互いに素な自然数p,q (q≠0)を用いて、√2=p/q とかけて、しかも√2が整数である」ならば、pは√2の倍数である、
は正しい命題です（仮定からp=√2になりますから）。
ですが、このことは当面の問題とは何の関係もありません。

今わかったのは
互いに素な自然数p,q (q≠0)に対して、2q^2=p^2という関係式がある、
ということです。
この式自体は√2とは関係ない、単なる自然数の関係式です。
というより、√2の性質を用いて、√2を必要としない世界に話を持ち込んだのです。
√2が整数であろうがなかろうが、この関係式から、p^2が素数2の倍数である、がいえ、
それゆえ、素因数分解の一意性により、pは2を素因子に持つ、といえるのです。

もっといえば、この段階では√2が整数の可能性をまだ排除してはいません（q≠1 はまだいえていません）。
その可能性をもったまま、話を進めて、qも2を素因子にもつ、ことが言えると、√2が整数の可能性はなくなります。
そして、同時に、√2が有理数であるという仮定がおかしい、ということも出てきたのです。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/08/15 05:51

2q^2=p^2

左辺(2q^2)は2の倍数だから
右辺(p^2)も2の倍数でなければならないから
p^2は2の倍数といっているのです

「
ルート2は(整数ではないから)p^2は2の倍数とはいっていません
」

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/15 07:32

pが偶数という結論は

(√2)^2=2
からきていて、√2が整数かどうかとは
全く関係無いですよね。

もし、あなたが関係が有ると思うなら
そこを詳細に説明しましょう。「いささか違和感」ではわかりません。

No.6 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/08/15 10:05

＞どこからルート2は整数ではないことがわかるのですか？

①　１　＜　ルート2　＜　２
②　整数２は整数１より大きい最小の整数である
①②より、ルート2は整数ではないことがわかるのでは？

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/15 15:09

√2 が整数であったっとしても、皆さんが書いているとおり

2q^2=p^2 から p^2は2の倍数 を導く邪魔にはならないよね。
問題は、pは2の倍数 を導く部分のほうで、
ここでは 2 が素数であることを利用している。

日頃、素数の定義は p が積に分解できないこと、つまり
p=xy であれば x=1 または y=1 として扱っているけれど、
うるさく言えば、これは素元ではなく既約元の定義。
素元は、p が xy を割り切るならば x または y を割り切ること、つまり
ｐa=xy となる a が存在すれば pb=x となる b または
pｃ=y となる ｃ が存在することとして定義される。
定義を見れば解るように、素元は必ず既約元だが、
既約元は素元であるとは限らない。

素元や既約元は、足し算と掛け算が定義された系で一般的に定義される。
例えば、有理数では、既約元は「定義されるが」ひとつも存在はしない。
興味があれば、{a+b√10|a,bは整数}の素元など考えて見ては？
足し算と掛け算が定義された系にはさまざまなものがあるが、
その中のひとつに整数がある。整数の場合には、たまたま
既約元と素元は一致している。

さて、質問に返ると、2q^2=p^2 から pは2の倍数 というのは、
2 が素元であることの定義をそのまま利用している。
その根拠を示すには、2 が素元であることを証明するか、
整数において既約元はどれも素元であることを証明するかだろう。
2 が既約元であることを示すのは易しい。(このページにもやっている人がいた)

整数において既約元がどれも素元であることを証明するのは、
大学初年くらいで可能だろうが、√2 を初めて習う中学生には
さすがに難しい。参考サイトを挙げておく↓が、
https://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/quadnf.pdf
深入りは奨めない。

この辺のグダグダを避けて、話を簡明にするためには、
一意な素因数分解が存在することを証明抜きで認めてしまう
のがいいような気がする。素因数分解の一意存在は、
既約元と素元が一致する系の重要な性質で、証明が必要だが、
中学生は、算数以来、素因数分解には慣れているだろうから、
ここを誤魔化しても気づかない可能性が高いと思う。
(まあ、この質問者のように鋭い子は一定数いるものではあるが)

2q^2=p^2 の両辺を素因数分解すれば、
p が 2 の倍数、q も 2 の倍数 とたどらなくても
p と q が互いに素ではこの式が成り立たないことは明らかだ。
両辺の素因数の総数を比較すれば済む。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/16 09:17

う~ん、

①ある前提を利用しない推論
と
②間違った前提を元に進めた推論

は別のものだよ。

明らかに誤った前提から導かれた結論はゴミで
正しい推論の結果をどうこうする力は全く有りません。
前提が間違っていれば単に破棄されるだけです。

p^2=2 を前提にした推論を証明に利用するなら
これが絶対に正しいという証明が必要。

あたり前でしょ?

No.9 回答者： ワヲン 回答日時： 2019/08/16 17:16

う～ん。

証明の仮定を完全に無視して一般論に突き進んでいる様に見えるんですが・・・。

√2が有理数であることを仮定すると、
互いに素の自然数p.q(q≠0)を用いて、√2=p/qと表せる。

この仮定を完全に無視していないでしょうか？

そして変形を行ったら、2q^2=p^2が導かれた。
q(q≠0)が自然数であるから、左辺は偶数（２の倍数）。
等号関係にあるのであるから、右辺のp^2も偶数。
pも自然数であるから、p^2は、
奇数×奇数か偶数×偶数のどちらかであるが、
奇数×奇数＝奇数なので不適。
だから、偶数×偶数の方であり、ｐは偶数（２の倍数）。
と言っているに過ぎないのですが・・・。

No.10 回答者： ワヲン 回答日時： 2019/08/16 22:06

何となく判った気がするので追記。

そもそも矛盾を証明しているので、例示をすると疑問が発生するのはもっともかもしれません。
2q^2=p^2
の時点で、qが自然数なので、2や8や10になることがありません。
一方で、2q^2のとなるような、p^2を満たす自然数pなど、
細かい条件を抜きでや、
p=±√2qな時点で、存在しないわけで矛盾が生じている気がしているのかと思われます。
ただ、仮定である√2=p/qを満たす自然数p,qの組み合わせは無いと言えていることに結び付けられれば、
仮定の√2が有理数であるが偽で、無理数であると出来るのでは無いでしょうか。

素因数分解の一意性を利用して、
q^2を素因数分解した時の、素因数２の数が偶数から、
2q^2の素因数２の数は奇数であり、
一方、p^2の素因数２の数は偶数であることから、
2q^2=p^2を満たす自然数の組み合わせp,qが存在しないことを示すことが出来ます。

解き方よりも、矛盾を示そうとしている点
（これにより、恐らく違和感がが生じている点を）
理解頂けたらと思います。