原点oから出発して数直線上を動く点Pがある。硬貨を投げて表が出たら点Pは＋1だけ移動し、裏が出たら−

原点oから出発して数直線上を動く点Pがある。硬貨を投げて表が出たら点Pは＋1だけ移動し、裏が出たら−1だけ移動する。nを正の整数として以下の問いに答えよ。
(1)2n回目の移動で点Pが原点に戻る確率を求めよ。
(2)2n回目の移動で点Pが初めて原点に戻る確率を求め よ。


解説されてたのですが意味がわからず質問しました。どなたか教えていただけると嬉しいです

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/08/16 16:15

No.1の(２)すべて訂正します。

２)わかりやすいように、1回目に表が出た場合と、1回目に裏が出た場合とを別に考えます。

1回目に表が出たとします。
点Pが原点に戻るのは偶数回目ですから、偶数回目を考えます。

①2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2×1/2=1/4
2回目に点Pが原点に戻らない確率は、1/2×1/2=1/4

②４回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、2回目に点Pが原点に戻らず、3回目、4回目と続けて裏が出た場合で、1/4×1/2×1/2=(1/2)⁴
４回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点２の位置にいる確率は、3回目、4回目に表と裏が1度ずつ出た場合で、1/4×1/2=(1/2)³

③６回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、４回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点２の位置にいて、5回目、6回目と続けて裏が出た場合で、(1/2)³×1/2×1/2=(1/2)⁵
６回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点２の位置にいる確率は、５回目、６回目に表と裏が1度ずつ出た場合で、(1/2)³×1/2=(1/2)⁴

④８回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、６回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点２の位置にいて、7回目、8回目と続けて裏が出た場合で、(1/2)⁴×1/2×1/2=(1/2)⁶
８回目も点Pが原点に戻らず、数直線上の点２の位置にいる確率は、７回目、８回目に表と裏が1度ずつ出た場合で、(1/2)⁴×1/2=(1/2)⁵

以上から、２ｎ回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、(1/2)^(n+2)

1回目に裏が出た場合も同様で、求める確率は、(1/2)^(n+2)

したがって、求める確率は、(1/2)^(n+2)×２＝(1/2)^(n+1)　(ただし、ｎ≧２)
ｎ＝１のとき、すなわち、2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2

この回答へのお礼

毎度毎度本当にありがとうございます！

お礼日時：2019/08/16 17:38

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/08/16 12:43

No.1訂正です。

最後間違えました。
2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2です。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/08/16 09:01

(１)２ｎ回のうち、ｎ回表、ｎ回裏が出ればよい。

ｎ個の表とｎ個の裏、合計２ｎ個を並べると考えて、場合の数は、(2n)!/(n!)(n!)　(通り)
表と裏を合わせて２ｎ個並べる場合の総数は、２^(2n)=4ⁿ　(通り)
したがって、求める確率は、(2n)!/{4ⁿ(n!)(n!)}

(２)わかりやすいように、1回目に表が出た場合と、1回目に裏が出た場合とを別に考えます。

1回目に表が出たとします。
点Pが原点に戻るのは偶数回目ですから、偶数回目を考えます。

①2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2×1/2=1/4
2回目に点Pが原点に戻らない確率は、1/2×1/2=1/4

②４回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、2回目に点Pが原点に戻らず、3回目、4回目と続けて裏が出た場合で、1/4×1/2×1/2=1/16
４回目も点Pが原点に戻らない確率は、1/4×(1-1/4)=1/4×3/4

③６回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、4回目も点Pが原点に戻らず、5回目、6回目と続けて裏が出た場合で、1/4×3/4×1/2×1/2=3/64
６回目も点Pが原点に戻らない確率は、1/4×3/4×(1-1/4)=1/4×(3/4)²

④８回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、6回目も点Pが原点に戻らず、7回目、8回目と続けて裏が出た場合で、1/4×(3/4)²×1/2×1/2=9/256
８回目も点Pが原点に戻らない確率は、1/4×(3/4)²×3/4=1/4×(3/4)³

以上から、２ｎ回目も点Pが原点に戻らない確率は、1/4×(3/4)^(n-1)

２ｎ回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、(2n-2)回目も点Pが原点に戻らず、(2n-1)回目、2
n回目と続けて裏が出た場合で、1/4×(3/4)^{(n-1)-1}×1/2×1/2=1/16×(3/4)^(n-2)

1回目に裏が出た場合も同様で、求める確率は、1/16×(3/4)^(n-2)

したがって、求める確率は、1/16×(3/4)^(n-2)×２＝1/8×(3/4)^(n-2)　(ただし、ｎ≧２)
ｎ＝１のとき、すなわち、2回目に点Pが初めて原点に戻る確率は、1/2×1/2=1/4