痔になりやすい生活習慣とは?

arcsin(√(1-x^2))を微分せよという問題なんですが他の質問サイト等を見ていると-1/√(1-x^2)が答えになっているんですが、
どうしても計算結果がx/(|x|√(1-x^2))になってしまうんです。
間違っているでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • すいません計算結果写し違えで-x/(|x|√(1-x^2))です

      補足日時:2019/08/15 17:26

A 回答 (6件)

y = arcsin√(1-x^2)と置くとsin y = √(1-x^2)


両辺をxで微分すると、
d (siny)/dy*dy/dx=cosy*y'= (1/2)(1 - x²)⁻¹/² * (-2x) = - x / √(1-x²)
ところで (cos y)² = 1 - (sin y)² = 1-1+x²=x² でこの場合 cos y =± √x²=± x から
上で求めた式から、
±x*y' = - x/ √(1-x²)
y’=±1/ √(1-x²)
でっせ。
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AN04訂正(^^;


>x>0でx/|x|=1, x<0で-x/|x|=-1
→ x>0でx/|x|=1, x<0でx/|x|=-1
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arcsin√(1-x^2)は添付図のとんがり帽子になるので


あなたがサイトで見つけてきた答えはx>0の場合でしょうね。
x=0で微分不能、x<0では微分係数の正負は逆転
x>0でx/|x|=1, x<0で-x/|x|=-1
だから、あなたの答はx>0でサイトの答えと一致、x<0でも問題なし。
「arcsin(√(1-x^2))の微分」の回答画像4
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No.2 さんが書いているように、あなたの計算であっています。


-1/√(1-x^2) と答えた人は、x>0 の範囲だけを考えてしまったのでしょう。
x=0 では微分不能なので、分母に |x| が入っていても問題ないし...
でも、どちらかと言うと、x/|x| を使って書くよりは
x>0 のとき -1/√(1-x^2),
x<0 のとき 1/√(1-x^2) と場合分けして書いたほうが簡明でよいと思います。
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arcsin(x) の微分公式を使って求めることもできますが,今回はもう少し地道に求めてみます.



まず,逆関数の微分を求める際の定石通り,
 y = arcsin[sqrt(1 - x^2)]
 (-pi/2 <= y <= pi/2)
とおきましょう.
すると,
 sin(y) = sqrt(1 - x^2)
となりますから,両辺を x で微分すると,
 cos(y) * (dy/dx) = -x / sqrt(1 - x^2) ……(*)
となりますね.
ここで,左辺の cos(y) について
 cos(y)
 = sqrt[1 - sin^2(y)]
 = sqrt[1 - (1 - x^2)]
 = |x|
と計算できることに注意しましょう.
これを(*)に代入して整理することで,
 dy/dx = -x / [|x| * sqrt(1 - x^2)]
という結果が得られます.

答えに負号が付かなかったのでしたら,(*)の計算あたりで間違っているのではないでしょうか.
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自分の計算だと、違う答えになります。



y=arcsin(√(1-x^2))とすると、
√(1-x^2)=siny

dy/dx=1/(dx/dy)
=1/cosy
=1/√(1-(siny)^2)
=1/√(1-(√(1-x^2))^2)
=1/√(1-(1-x^2))
=1/√(x^2)
=1/|x|
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