スペクトル解析、フーリエ解析の出力データの定義

時系列解析でスペクトル解析・フーリエ解析（両者はざっくり同義かと）についてお尋ねします。
パワースペクトルとかクロススペクトルやコヒーレンス、フェイズについての定義式が示されているときにアンサンブル平均として定義されている場合があります。平均というものは時系列は簡単で全部足して個数で割ればいいですが、アンサンプル平均（集合平均）となると時系列計測を何度も試行してその結果を計測回数で割って平均にするものですね。しかし、実際に計測は1回しか行わなかった場合、それだけを使って示した結果で、”例えばパワースペクトルはこうです”、と表示していいものなのでしょうか。1回のアンサンブル平均です！と強弁してその1回の結果を提示することもできるのでしょうか。また、スペクトルについてはT→∞として周波数の分解能df→０、すなわち周波数分解能∞で定義しています。これは現実では無理ですね。このようにスペクトル解析の結果の表示は手にしているデータだけで実行して”こうなりました”と示すことは可能なのでしょうか。スペクトル系の定義群は理想を極めた場合であり、実際はリソースの許す範囲で示されればいい、ということになるのでしょうか。
テキストに示されたものがすべてだと思い込むとそれに到達できないということにしかならないように思うのですが。

No.4 回答者： ibm_111 回答日時： 2019/08/16 20:23

>”N市A地点の8月13日の正午から１時までの気温の変化のスペクトル”と言った時には年の指定がないから何年もその計測を行って平均をとるというのが集合平均になると思います。

いや，時間平均です．

>しかし、”N市A地点の2019年8月13日の正午から１時までの気温の変化のスペクトル”と言ってしまえば、１つしかありません。このように集合平均の取り様がない場合、どういう考え方になるのかという疑問生じます。

取りようがない場合には，
・天気予報のようにシミュレーションするか，
・エルゴード仮説を認めるか，
ぐらいしかないと思います．

No.3 回答者： tohoho2 回答日時： 2019/08/16 10:04

>しかし、実際に計測は1回しか行わなかった場合、それだけを使って示した結果で、

>”例えばパワースペクトルはこうです”、と表示していいものなのでしょうか。

集合平均と時間平均が一致するかどうか（エルゴード性）の問題は、

http://is-edge.naist.jp/Edge/2013/08/%E3%83%87%E …

とか

https://cuscus.hatenadiary.org/entry/20080405/12 …
の一連のエルゴード性とは？というブログ

がわかりやすい。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/16 07:07

スペクトル解析・フーリエ解析は同じです。

昔はプリズムでスペクトル解析をしていましたが、今はフーリエ変換でスペクトル解析しています。
フーリエ解析の良さは精度の良さです。遠い星からの微弱な電磁波も短時間で積算出来るので、その電磁波のスペクトル解析の精度が上がります。

No.1 回答者： ibm_111 回答日時： 2019/08/15 19:42

一般には，集合平均と時間平均は一致しません．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
（私の不得意な）測度論まで視野に入れて考えていくわけでしょうか。
以下、屁理屈を言っているように見えるのですが、
”N市A地点の8月13日の正午から１時までの気温の変化のスペクトル”と言った時には年の指定がないから何年もその計測を行って平均をとるというのが集合平均になると思います。
しかし、”N市A地点の2019年8月13日の正午から１時までの気温の変化のスペクトル”と言ってしまえば、１つしかありません。このように集合平均の取り様がない場合、どういう考え方になるのかという疑問生じます。そのようなデータの定義の仕方に依存する部分もあるのかなと思うのですが。

お礼日時：2019/08/16 13:57