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2種類の原子からなる1次元の格子振動についてです。式(7.10)をk≒0でsin(ka/2)=ka/2と近似して角振動ωを求めているのですが、代入しても書いてある角振動数の値が出ません。どのように計算すればよいのでしょうか?
なおMa,Mbはそれぞれの原子の質量、Kはバネ定数、kは波数ベクトルの大きさ、aは原子間隔です

「2種類の原子からなる1次元の格子振動につ」の質問画像

A 回答 (2件)

K>0 らしい。

A=K(1/Ma+1/Mb)とおく。
w²=A±√{A²-K²4sin²(ka/2)/(MaMb)}≒A±√{A²-K²(ka)²/(MaMb)}

まず、+の評価をするが、(ka)²≒0 とすると
w²≒A+√(A²+0)=2A → w≒√(2A)=√{2K(1/Ma+1/Mb)}

つぎに、-の評価をする。 √(1-x)≒1-x/2 (x≒0のとき)を使って
w²≒A-A√{1-K²(ka)²/(A²MaMb)}≒A-A{1-K²(ka)²/(2A²MaMb)}=AK²(ka)²/(2A²MaMb)
=K²(ka)²/(2AMaMb)=(ka)²K/{2(Ma+Mb)}
→ w=ka√[K/{2(Ma+Mb)}]
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この回答へのお礼

+の方の近似はka=0を代入
-の方の近似はテイラー展開をすればいいんですね
分かりやすい解説ありがとうございました!

お礼日時:2019/08/16 18:38

sin(ka/2)=ka/2と近似して角振動ωを求めているいること、


代入して書いてある角振動数の値を求めること、
とは、
全くの別問題です。
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