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こんにちは。バネとおもりの組み合わせによる振動についての質問です。
添付した画像のような条件での微小振動を考えていたのですが、x方向の運動方程式がシンプルな単振動のものとなるのに対して、y方向の運動方程式は近似を行なっても非線形のよくわからないモノになってしまいます。
張力一定の条件では単振動の方程式が出てくるのですが‥
このy方向の方程式は正しいのでしょうか?手持ちの本を見てみても、この条件を扱ったものはなく困っております。ご回答お待ちしております。

「バネとおもりの振動について」の質問画像

A 回答 (4件)

あなたの計算は誤りではないのですが、


ただ微小振動なので1に対してy/Lは非常に小さいとみて
ここは近似をもう一段進めて
my’’=-k{y/L}²y=-(k/L²)y³
とします。
いずれにしろ、この問題は微小振動といえど線形的な処理が不可能な
例とお考えください。

なお
山内、末岡編 大学演習 力学(裳華房) 第2章の演習問題に
これに似た例があるので参照してみてください。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
非線形で解くしかないのですね‥!
横振動と縦振動で支配方程式が大きく変わってくるのが不思議な気持ちです。

お礼日時:2019/08/21 23:31

x=y=0 ではバネが自然長だから張力=0


だから張カ=ー定で解くのはナンセンス。
非線形で解くしかありません。

L>自然長 なら力はL'-Lに比例しないから
異なった式になり、この場合は振動の振幅が
充分小さければT=ー定で解いてOKです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!
弦の振動でTを一定とする問題はよく見るので、バネだとどうなるのかと不思議に思い、質問させていただきました。おっしゃる通り、自然長からのスタートでは張力一定の過程は成り立たないですし、非線形の式が出てきてしまいますね‥

お礼日時:2019/08/21 23:35

大学工学部3年生までの振動学という講義の中の問題であれば,微小変形運動つまり線形でしょうから tanθ=sinθ=θ=y/L, L=L' です。

もちろん張力Tは一定。それが「弦の運動方程式」になります。4年生の卒論以降は非線形をトライしましょう。
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この回答へのお礼

振動工学を学ぶ中で、張力一定の仮定を外した条件ではどの様な支配方程式となるのかが気になっており、この様な質問をさせていただきました。
非線形の解析は振動工学の発展的な内容に加え、海の波の有限振幅波理論などの興味深い内容が多くて楽しみです。ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2019/08/21 23:43

>このy方向の方程式は正しいのでしょうか?



考え方は、下記のような感じかと思います。

上から2つ目の図でいえば、
・つり合っている状態:弦の長さ = 2L、弦の横方向の変位 y=0、弦の横方向の復元力 = 0
・弦の中心がつり合い位置から横方向に y だけ変位している状態:
  弦の長さ = 2L' = 2L/cosθ
と書けると思います。

「弦の横方向の復元力」は、次のようにして求めるのが妥当かと思います。
長さ 2L のときの弦の張力を T として、張力の大きさは弦の長さに比例するとすると、
長さ 2L' = 2L/cosθ のときの張力は
 T' = T * (2L/cosθ)/2L = T/cosθ
と書けます。弦の横方向の復元力は、この張力に対して
 F = -T' * sinθ = -T * tanθ    ①
(マイナスは、力の方向が θ と逆方向であるため)

弦の横方向の変位は
 y = L * tanθ     ②
ですから、①②を比較すれば
 F = -(T/L)y
と書けます。
ここで、比例定数を
 T/L = k
と書きかえれば
 F = -ky
で、上に書いた「ばねの x 方向」と同じ運動方程式になります。

復元力の大きさを「弦の長さの差」で考えるか「弦の長さの比」で考えるかの違いかな?
多分「比」の方が現実に近いのではないかと思います。
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この回答へのお礼

丁寧な導出過程を載せてくださり、とても参考となりました。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2019/08/21 23:49

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