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多様体
多様体の基礎に、画像のような文章が有ります。
ここで、赤線部分のように、「いくらでも小さな座標近傍が考えられる。」とか、「十分小さい開近傍をとる」とかありますが、多様体は、一般にハウスドルフ空間であっても、距離空間とは限りません。
「小さい」というのは位相空間でどういうことを言っているのですか?
(松坂和夫の集合位相を一通り読んだ程度の知識しかないので、位相空間のことがピンと来ていませんすみませんが助けて下さい)

「多様体 多様体の基礎に、画像のような文章」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 一般に位相空間といっても距離空間とは限らないので、「小さい」というのがピンとこないのです。

      補足日時:2019/08/22 04:53
  • 多様体Mの任意の点xにおいてxを含んでいるいくらでも小さい開集合が取れるのは開集合の定義からわかります。
    xにおいて、いくらでも小さい開集合Wが取れるのだから、その開集合はある座標近傍(Uα,φα)に含まれているはずであり、そのWはφαをWに制限してやれば、C^r級座標近傍になっているということでしょうか?
    この場合、画像では、「Wをある点p∈Mの十分小さい開近傍とする」とありますが、Mの任意の点pにおいていくらでも小さい開近傍が取れることから、pを含むようないくらでも小さいC^r級座標近傍が取れるとしても良いような気がしますが、間違っているでしょうか?

      補足日時:2019/08/22 11:44
  • 回答ありがとうございます。
    まだ腑に落ちない部分があります。すみません。まず、多様体の定義で、
    Mを位相空間とする
    任意のa∈M
    に対して
    a∈U_a⊂M
    U_aはMの開集合
    U_aはR^nと同相
    となるU_aが存在する時
    Mを多様体という
    とのことですが、教科書では、R^nのある開集合と同相なUaが存在するという形で定義されています。
    これらは同等な定義なのでしょうか?

    No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/08/24 02:43

A 回答 (9件)

補足訂正です



Mを位相空間とする
任意のa∈M
に対して
a∈U_a⊂M
U_aはMの開集合

U_aはR^nのある開集合Gと同相

となるU_aが存在する

その同相写像を
φ_a;U_a→G
とする



あるε>0が存在して
Mの開集合
U(a,ε)={x∈U_a;|φ_a(x)-φ_a(a)|<ε}

は同相写像
f:x→φ_a(x)-φ_a(a)
によって

B(0,ε)={y∈R^n;|y|<ε}
と同相

B(0,ε)={x∈R^n;|x|<ε}

は同相写像
g:x→x/(ε-|x|)
によって

R^n
と同相だから

Mの開集合
U(a,ε)={x∈U_a;|φ_a(x)-φ_a(a)|<ε}


は同相写像
g〇f:x→{φ_a(x)-φ_a(a)}/(ε-|φ_a(x)-φ_a(a)|)
によって

R^n
と同相になる
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
わかった部分とまだよくわからない部分がありますが、少し考えたうえでもしわからなければ再質問させてください。

お礼日時:2019/08/29 01:55

同等です



Mを位相空間とする
任意のa∈M
に対して
a∈U_a⊂M
U_aはMの開集合

R^nのある開集合Gと同相

となるU_aが存在する
として
その同相写像を
φ_a;U_a→G
とすると
GはR^nの開集合だから
あるε>0が存在して
U(a,ε)={x∈M;|φ_a(x)-φ_a(a)|<ε}
φ_a(U(a,ε))⊂G⊂R^n
となる
h;U(a,ε)→R^n
x∈U(a,ε)

h(x)={φ_a(x)-φ_a(a)}/[ε-{φ_a(x)-φ_a(a)}]
とhを定義すると

hはU(a,ε)からR^nへの同相写像になる
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多様体(局所ユークリッド空間)の定義



Mを位相空間とする
任意のa∈M
に対して
a∈U_a⊂M
U_aはMの開集合
U_aはR^nと同相
となるU_aが存在する時
Mを多様体という
その同相写像を
φ_a;U_a→R^n
として
座標近傍(U_a,φ_a)
というのです

2つの座標近傍(U_a,φ_a)、(U_b,φ_b)に対して
U_a∩U_b≠φの時
写像
φ_b〇{(φ_a)^(-1)};R^n→(φ_a)^(-1)→U_a∩U_b→φ_b→R^n
がr回微分可能な時に

φ_b〇{(φ_a)^(-1)}

C^r級というのです

単独でφ_aがC^r級等とはいいません
この回答への補足あり
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開集合の定義ではありません



Mを位相空間とする
任意のa∈M
に対して
a∈U_a⊂M
U_aはMの開集合

U_aはR^nと同相(φ_aは同相写像)

となるU_aが存在する時

Mを多様体という

多様体の定義なのです

ただ単に
xにおいて
開集合Wがとれるといっていっているのではなく

xにおいて

R^nと同相な
開集合(近傍)
U_a=W
がとれるといっているのです

その同相写像を
φ_a
として

座標近傍(U_a,φ_a)
というのです

U_aはR^nと同相なので

U_aとR^nを同一視できるのです
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ハウスドルフとだけ言ってるけれど、実は可算性も仮定しているんじゃないの?

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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2019/08/29 01:55

証明をするのに都合の良い大きさ。


と考えてよい。
その大きさは
座標近傍系のUmのなかにすっぽり入っている。
ことです。
こうすれば、点の座標を決めるのに面倒な操作がいらない。
少しはみ出すと、座標の変換の話が必要になっててしまいます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2019/08/29 01:55

#1です補足訂正です



R=(全実数)
R^n=(n次元ユークリッド空間)
{
x=(x_1,…,x_n)とy=(y_1,…,y_n)の距離は
|x-y|=√{(x_1-y_1)^2+…+(x_n-y_n)^2}
}
Mを位相空間とする
任意のa∈M
に対して
a∈U⊂M
UはMの開集合
UはR^nと同相
となるUが存在する時
Mを多様体という

UからR^nへの同相写像を
f:U→R^n
とする
UはR^nと同相だから
a≠x∈U
となるxがある
fは同相だから
f(x)≠f(a)
0<|f(x)-f(a)|
だから

V={y∈U;|f(y)-f(a)|<|f(x)-f(a)|}

とすると
y∈V→y∈U

a∈V⊂U

x∈U-V

だから
V≠U

だから

(a∈V⊂U)&(V≠U)のときVはUより小さいというのだから

VはUより小さいaの近傍となるから

いくらでも小さな座標近傍が考えられる
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ハウスドルフ空間なら


 近傍
が定義されているわけだから、
 近傍の包含関係
で「小さい」も定義できるのでは?
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2019/08/29 01:56

Mを位相空間とする


任意のa∈M
に対して
a∈U⊂M
UはMの開集合
UはR^nと同相
となるUが存在する時
Mを多様体という

UからR^nへの同相写像を
f:U→R^n
とする
x∈U
に対して

V={y∈U;|f(y)-f(a)|<|f(x)-f(a)|}

とすると

V⊂U

x∈U-V

だから
V≠U

だから

VはUより小さいaの近傍となるから

いくらでも小さな座標近傍が考えられる
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