出産前後の痔にはご注意!

空欄にあてはまるものとdの答えを教えて下さい!答えなくて困っています!お願いします。

質問者からの補足コメント

  • この画像の問題です。お願いします。

    「複素数」の補足画像1
      補足日時:2019/08/23 15:36
  • 特に最初の()の中に入るものが分かりません。

      補足日時:2019/08/23 16:05

A 回答 (1件)

あなた、もう一つの質問も含めて、本当に勉強しているのですか?


講義にも出ず、テキストも読んでいないのでは?

z = r(cosθ + i*sinθ)   ①
 = r*e^iθ     ←これ、もう一つの質問に出てきたでしょ?

とおけば

 z^4 = r^4 [cos(4θ) + i*sin(4θ)]   ②
   = r^4 *e^(4iθ)

になると書いてあるでしょ?

もし書いていなくとも

 z^4 = r^4 (cosθ + i*sinθ)^4
   = r^4 [cos^2(θ) + 2i*cos(θ)*sin(θ) - sin^2(θ) ]^2
   = r^4 [cos(2θ) + i*sin(2θ)]^2   ←三角関数の「倍角の公式」ね
   = r^4 [cos^2(2θ) + 2i*cos(2θ)*sin(2θ) - sin^2(2θ)]
   = r^4 [cos(4θ) + i*sin(4θ)]   ←再び三角関数の「倍角の公式」ね

となることは分かるでしょ?

z^4 = -16
なら、②より
 r^4 = 16    ③
 cos(4θ) + i*sin(4θ) = -1   ④
ということです。
r ≧ 0 の実数なので、③より
 r = 2
④は
 cos(4θ) = -1
 sin(4θ) = 0
ということですから、
 4θ = パイ + 2nパイ    ←最初のカッコはこれだろうなあ
→ θ = パイ/4 + (n/2)パイ

これらを①に代入すれば
 z = 2{cos[パイ/4 + (n/2)パイ] + i*sin[パイ/4 + (n/2)パイ)]}
 ・n=0 のとき
  z = √2 + i√2
 ・n=1 のとき
  z = -√2 + i√2
 ・n=2 のとき
  z = -√2 - i√2
 ・n=3 のとき
  z = √2 - i√2
まとめて書けば
 z = ±√2 ± i√2

この4つが分かれば (d) は書けるでしょ?

ここまでって、高校数学の範囲じゃないかな?
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この回答へのお礼

助かりました

すみません。間違えてはいけない問題なので慎重になりました。カッコ内だけは本当に何を埋めれば良いのか分かりませんでした。そこを知れてよかったです。ありがとうございます。

お礼日時:2019/08/23 17:00

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