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A 回答 (3件)

(1)「n 進数」であることを、数字の後に [n] を付けて示します。



2進数の表し方にも何通りかあって、単純に
 000.000[2]~111.111[2] = 0[10] ~ 7.875[10]
のように「そのまま」の表記もあれば、
「先頭ビットは符号を表わす」ことにして
 111.111[2] ~ 011.111[2] = -4.000[10] ~ 3.875[10]
という表記を使うこともあります。
デジタル計算機上では後者です。

ここでは「小数点以下」だけを扱えばよいので、その中に「符号ビットはない」と解釈して
 0.000[2] ~ 0.111[2] = 0[10] ~ 0.875[10]
で考えます。
a, b, c を2進数の各桁の数字とすれば、いずれも「0 か 1 のどちらか」で
 x = 0.abc[2] = a * 2^(-1) + b * 2^(-2) + c * 2^(-3) [10]
ということになります。

画像が不鮮明で、肝心な「xのべき乗」部分が読めませんが、これを「3乗」と解釈すれば
 x^3 = [a * 2^(-1) + b * 2^(-2) + c * 2^(-3)]^3
   = (a/2 + b/4 + c/8)^3 < 1/5   ①

①のカッコを展開すれば
 (a/2 + b/4 + c/8)^3
= [(4a + 2b + c)/8]^3
= (4a + 2b + c)^3 /512
なので、①式に代入して
 (4a + 2b + c)^3 < 512/5
a, b, c は「0 または 1」なので左辺は整数であるから
 4^3 = 64 < 512/5
 5^3 = 125 > 512/5
より
 4a + 2b + c ≦ 4
最大になるのは
 4a + 2b + c = 4
これを満たすのは
 (a, b, c) = (1, 0, 0)
従って
 x = 1/2


「xのべき乗」部分が「2乗」なら、①は
 (a/2 + b/4 + c/8)^2 < 1/5   ①'
なので、左辺を
 (a/2 + b/4 + c/8)^2
= (4a + 2b + c)^2 /64
として①式に代入して
 (4a + 2b + c)^2 /64 < 1/5
→ (4a + 2b + c)^2 < 64/5 = 12.8
より
  4a + 2b + c ≦ 3
最大になるのは
 4a + 2b + c = 3
これを満たすのは
 (a, b, c) = (0, 1, 1)
従って
 x = 1/4 + 1/8 = 3/8


(2)5x + 2y = 1  ② 
まずは、直感で1つの解を見つけましょう。
x=1 のとき、5 + 2y = 1 なので
 y = -2
になるので (x, y) = (1, -2) が1つの解であることが分かります。

そうすれば
 5*1 + 2*(-2) = 1  ③
から ② - ③ を求めれば
 5(x - 1) + 2(y + 2) = 0
→ 5(x - 1) = -2(y + 2)   ④
となり、
・x - 1 は2の倍数
・y + 2 は5の倍数
であることが分かります。

これを、整数 t を用いて
 x - 1 = 2t
つまり
 x = 2t + 1
とおくと、④より
 5*2t = -2(y + 2)
より
 y = -5t - 2

つまり、不定方程式の一般解は
 (x, y) = (2t + 1, -5t - 2)
と書けます。

ここで、0≦x≦10 なので
 0 ≦ 2t + 1 ≦ 10
→ -1/2 ≦ t ≦ 9/2
t は整数なので
 0 ≦ t ≦ 4
この中で、x が最大になるのは t が最大の t=4 ときであり、そのとき
 x = 2t + 1 = 9
 y = -5t - 2 = -22
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少数第三位までなので、表される数はx=n/8 (n=1...7)


x^2=n^2/64 =5n^2/320 <1/5 = 64/320
5n^2<64
n^2<13
n=3
x=3/8

2y = 1-5x
左辺は2の倍数なので、右辺も偶数
1は奇数なので5xも奇数、よってxは奇数
最大の奇数は9
その時
2y=-44
y=-22
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【1】2進数の少数3位までは、1x2⁻¹=1/2、1x2⁻²=1/4、1x2⁻³=1/8の3つ。


   3つの組み合わせでx²が1/5に最も近いのは1/4+1/8=3/8、(3/8)²=9/64=0.140625<1/5=0.2
答:1=3、2=8

【2】5x+2y=1・・①を満たす1つの解はx=1、y=-2
   5*1+2*(-2)=1・・②
   ①-②=5(x-1)+2(y+2)=0から
   5(1-x)=2(y+2)、5と2は互いに共通の約数を持たない素の関係なので
   (1-x)は2の倍数、1-x=2k(kは整数)、x=1-2k
   0≦x≦10を満たす最大のxになるkはk=-4、この時x=9
   x=9の時、y=-22
  答:3=9、456=-22
です。
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