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数学 関数とグラフ



50教えてください。(2)はf(x)の定義域を求めればいけるかなと思ったのですが、出来ませんでした。知恵袋の解答もよく分からなかったのでよろしくお願いします。

「数学 関数とグラフ 50教えてください。」の質問画像

A 回答 (3件)

(1)


f(x)=-ax²+ax は上に凸の放物線、x=0と1で交わる。
f’(x)=-2ax+a=0からx=1/2に極値、f(1/2)=a/4の最大はa=4でf(1/2)=1
f(0)=f(1)=0から、f(x)の値域は、0≦f(x)≦1(0≦x≦1)
(2)
f(f(x))=-a(f(x))²+a( f(x))
(1)と同じくf(f(x))は は上に凸の放物線、f(x)=0と1で交わる。
f’(f(x))=-2af(x)+a=0からf(x)=1/2に極値、f(1/2)=a/4の最大はa=4で
f(1/2)=1
f(0)=f(1)=0から、f(f(x))の値域は、0≦f(f(x))≦1(0≦x≦1)

(3)
f(f(f(x)))=-a(f(f(x)))²+a( f(f(x)))
(1),(2)と同じくf(f(f(x)))は は上に凸の放物線、f(f(x))=0と1で交わる。
f’(f(f(x)))=-2af(f(x))+a=0からf(f(x))=1/2に極値、f(1/2)=a/4の最大はa=4で
f(f(1/2))=1、
f(f(0))=f(f(1))=0から、f(f(f(x)))の値域は、0≦f(f(f(x)))≦1(0≦x≦1)
従って、f(f(f(x)))=1/2なるxは存在する。
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(1)


0 ≦ x ≦ 1 の範囲で f(x) = ax(1-x) の値域を求める問題です。
y = f(x) のグラフを描けば、0 ≦ f(x) ≦ f(1/2) = a/4 であることが解るでしょう。

(2)
y = f(x) と置けば、0 ≦ y ≦ a/4の範囲で f(y) の値域を求める問題になります。
2 ≦ a ≦ 4 より 1/2 ≦ a/4 ≦ 1 であることを参考に、
0 ≦ y ≦ a/4 の範囲での z = f(y) のグラフを描いてみましょう。
0 = f(0) ≦ f(y) ≦ f(1/2) = a/4 であることが解ると思います。

(3)
(2)の計算を繰り返せば、f を何重にかさねても
0 ≦ x ≦ 1 の範囲での f(f(f(x))) の値域は(1)と同じ 0 ≦ f(f(f(x))) ≦ a/4
であることが解るはずです。
2 ≦ a より 1/2 ≦ a/4 ですから、f(f(f(x))) = 1/2 は f(f(f(x))) の値域に含まれます。
よって、f(f(f(x))) = 1/2 となる x が在ります。
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具体的にはどこでどう「出来なかった」んですか?

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