「複素数のはなし」という本に、sin(z) / z は z=0 に特異点を持つと書いてありました。
特異点ってその近傍では正則でその点でだけ正則じゃない点ですよね?
正則って導関数が連続である事ですよね?
    (d/dz) {sin(z) / z} = (1/z){cos(z) - sin(z) / z}    (1)
Excelでf(x) = (1/x){cos(z) - sin(z) / z}のグラフを書かせたら(-1,1)でほぼ f(x) = -x に比例した連続なグラフが出てきて、
少なくとも実数の範囲では(1)は連続に思えます。

複素数だと(1)は連続ではないんでしょうか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (6件)

すみません。

忙しいくてついつい見落としてました。前の私の回答は#2の前半は間違っています.で、意図しない行き違いがあるようなので補足しておきますと、ダイレクトに計算して計算が合わないのかな?と思い計算の糸道を付けておけば、恐らく導けるだろうと思っていたのですが、そうではなかったのですね。私の判断ミスでした。

ざっと計算してみましたが、私はこんな結果になりました。合いませんか?
それと特異点について述べておきました。どうでしょうか?納得いきませんか?

-------------------

sin(z)/z = ( sin(x)cosh(y) + icos(x)sinh(y) )(x - iy)/(x^2 + y^2)
= u + iv

ただし、u,vを次のように定義する。

u = ( xsin(x)cosh(y) + ycos(x)sinh(y) )/(x^2 + y^2)
v = ( xcos(x)sinh(y) - ysin(x)cosh(y) )/(x^2 + y^2)

Cauchy-Riemannの関係は、

∂u/∂x = ∂v/∂y , ∂u/∂y = - ∂v/∂x (#)

なので、いずれも二次元Laplace方程式( △u = 0 , △v = 0 )に帰着するので、
ここでは簡単に前者だけ示します。(偏微分の計算練習として後者をやってみて確めてください)

∂u/∂x = [( sin(x)cosh(y) + xcos(x)cosh(y) - ysin(x)sinh(y) )(x^2+y^2)
- ( xsin(x)cosh(y) + ycos(x)sinh(y) )2x] / (x^2+y^2)^2

∂v/∂y = [( xcos(x)cosh(y) - sin(x)cosh(y) - ysin(x)sinh(y) )(x^2+y^2)
- ( xcos(x)sinh(y)- ysin(x)cosh(y) )2y] / (x^2+y^2)^2

展開して互いの分子を比較する。(分母は(x^2+y^2)^2で一緒なので。)

∂u/∂x の分子 = -x^2sin(x)cosh(y) - 2xycos(x)sinh(y) + x^3cos(x)cosh(y)
-x^2ysin(x)sinh(y) + y^2sin(x)cosh(y) + xy^2cos(x)cosh(y)
-y^3sin(x)sinh(y)

∂v/∂y の分子 = (同上)

分子に表れる関数は正則関数なので分母が0にならなければ(#)式の関係は導かれる。
つまり、x = y = 0 i.e. z = 0 を除いてsin(z)/zは正則である。

ちなみにsin(z)/zのTaylor展開は次の式ですね。

f(z)≡sin(z)/z = Σ(-1)^n z^(2n)/(2n+1)! (where summantion is about n∈N)
    = 1 - z^3/3! + z^5/5! ・・・

従って、f(z)のz=0は特異点でも除去可能な特異点だということは上の形から明らかですね。教科書的なやり方では、除去可能な特異点は、lim f(z) = 1 ( as z→0 )があることを確めて(これは実際に簡単に確められます)、改めてf(0)=1と定義し直すことですが、同じことをしていることは右辺一項を見れば明らかです。

ではでは。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

詳しく式を書いていただけたおかげで自分が途中で計算ミスをしていた事に気付きました。
∂u/∂x = ∂v/∂y 、∂u/∂y = - ∂v/∂xともに確認できました。
それと「除去可能な特異点」についてはローラン級数の主要部が無いと言う事以外ほとんど知識がありませんでしたので勉強になりました。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/05 17:47

どういう意味で特異点と本に書いているかが問題です.


恐らく,本に書いている意味は,単に
(※)  f(z) = sin z / z
で z=0 を代入できない,
ということなのでしょう.
0/0 になっちゃいますから,困ってしまう.
で,f(0) の値を
(2)  lim_(z→0) f(z) = 1
と定義する,とすれば無難な関数(|z|<∞ で正則)になります.

つまり,f(z) の z=0 における特異性は,
単に f(0) が定義されていないとか(今はこちらですね),
不適切に定義されている,などの原因によるもので,
あらためて適切に f(0) を定義し直せば特異点ではなくなります.
こういう特異点を「除去可能な特異点」と呼んでいます.

除去可能な特異点が現れるたびに上のような修正をおこなって特異点を除去する,
というのが関数論での通常の扱いです.

(3)  f'(z) = (1/z){cos(z) - sin(z) / z}
の z=0 も一見特異点ですが
(4)  f'(0) = lim_(z→0) f(z) = 0
と定義し直せば何事も起こりません.

特異点には,上に述べた除去可能な特異点の他に,
極になっている場合,および真性特異点になっている場合があります.
極は,ローラン展開が途中で止まること
すなわち,特異点を z0 として, (z-z0)の逆べきに展開した際,
もっとも異常性の強い項が (z-z0)^(-s),(nは自然数)であること.
例えば,tan z など(z = (2m+1)π/2 で1位の極,mは整数).

真性特異点は,ローラン展開でいくらでも異常性の強い項が出てきて,
止まらない場合です.
e^(1/z) がその例です.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

丁寧な解説、勉強になります。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/05 17:48

「関数f(z)がz_0で微分可能⇒関数f(z)がz_0で連続」


だったと思います。
それで、z=0では連続でない(0が分母にくるためダメ)ので微分可能ではないです。だから特異点です。
孤立特異点はだいたいが、分母=0となってしまう点じゃないですかね。

習ったばっかなのであやしいですが、ご参考までに。
それでは。
    • good
    • 0

あ、すみません。

zで割るのを忘れてました。
1/z=(x-iy)/(x^2+y^2)をsinzに掛けて計算してみてください。

あと導関数ですが、簡単にいうと(1)でlimz→0は発散してしまいませんか?

この回答への補足

ですよね?
ですから下に書いたように計算はしてみたのですが結果は予想とは違ってしまったと言う事です。
回答に自信がおありなら一度計算してみて頂けますか?
私はやってみてそれでもダメだからこうして質問しているのですから。

補足日時:2001/08/05 01:06
    • good
    • 0

ああー、それは違いますね。


いや、先に示した式はその方が展開がわかりやすいかな?っと思って書いておいたのですが、sinzを生で展開してzで割れば1/zが出てきて、zで特異点を持つことになりませんか?

で、コーシーリーマンの関係が導けないと言うことなのですが、多分展開してからz=x+iyとしているからだと思うのですが。そうではなくダイレクトに入れてみましょう。

sin(z)=sin(x+iy)
=sin(x)cos(iy)+cos(x)sin(iy)
=sin(x)cosh(y)+icos(x)sinh(y)
=u         +iv

でどうでしょう?計算してみてください。
なんか今見たら本題とそれてしまいましたね。では。
    • good
    • 0

微分可能なときに正則というんじゃないんでしょうか?



微分可能の必要十分条件はf=u+ivとおいたときu,vがその点で全微分可能でコーシー/リーマンの関係式を満たすことじゃないのでしょうか?

sin(z)=(exp(iz)-exp(-iz))/2i

で展開してみては?

では。

この回答への補足

アドバイスにしたがって
    f(z) = sin(z)/ z =(exp(iz)-exp(-iz))/2iz
をf=u+ivの形に展開してみたのですが、恐ろしく長い式になってしまい、
しかもz=0いがいでもコーシー/リーマンの関係式を満たさない結果になってしまいました。
恐らくどこかで計算ミスがあったんだろうと思うのですが、実際に導いて頂けますでしょうか?
よろしくお願いいたします。

補足日時:2001/08/04 08:24
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qエヴァ シンジの楽しいこととは?

「楽しいこと見つけたんだ…、楽しいこと見つけて、そればっかりやってて、何が悪いんだよ !」

というセリフがアニメ版にありますが、
シンジ君にとっての楽しいことってなんですか?

エヴァに乗ることでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

親父に褒めてもらうこと、かな。

QA={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c

A={Φ,{{a,b},{a,c}}} B={Φ,{a,b},{a,c}}のとき、A∩Bは{Φ}なのかそれとも{a,b}などを含むのかどうかがわかりません。 わかる人がいらっしゃるなら教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

落ち着いて考えれば分かるはず。
ただ、若干の慣れは必要かも・・・。

・考え方
Aの元は、Φと{{a,b},{a,c}}}の2個。
Bの元は、Φと{a,b}と{a,c}の3個。
共通するのは、Φだけ。

よって、A∩Bの元はΦだけ。
つまり、A∩B={Φ}。

Qされて嬉しかったことが今までにありません。なので人にも優しくしようと思わないし、何を求めているのかわ

されて嬉しかったことが今までにありません。なので人にも優しくしようと思わないし、何を求めているのかわかろうともしません。このような人間は皆から嫌われますよね。私は何様だと思います。
最近は世間からも嫌われている気がします。出歩くこともできなさそうです。
生きる気力がわきません。

Aベストアンサー

逆です。
自分からの「人にも優しくしよう」が先です。
そして、これに対価を求めてもいけません。

Q複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて

複素積分∫[c]{cos(z)/z^4}dz C:|z|=1 ついて
|z|=1 よりz=cosθ+isinθ とおきました。
すると、dz/dθ=-sinθ+icosθ、cos(z)/z^4 の分母は z^4=(cosθ+isinθ)^4 とうまくいくのですが、分子のcos(z)=cos(cosθ+isinθ)となり、上手く進みません。
ぜひ、アドバイスの程よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

cos(z)をテーラー展開すると
cos(z)=1-z^{2}/2+z^{4}/4!-…
なので、この問題の被積分関数をローラン展開すると

cos(z)/z^{4}=1/z^{4}-1/(2z^{2})+1/4!-…

となります。

そして
∫[c]z^{n}dz=0 (n!=-1)
を使うことで、被積分関数の各項を積分したとしても全てが0になります

ちなみに
∫[c]z^{-1}dz=2πi
という公式もあります。

求め方は
I=∫[c]z^{n}dz [c:|z|=1]
に対し
z=e^{iθ}
とおくと
dz=ie^{iθ}dθ=izdθ(経路はθ=0→2π)
なので
I=i∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ

n=-1のときは
I=i∫[0→2π]dθ=2πi
n!=-1のときは
I=(1/n+1)∫[0→2π]e^{i(n+1)θ}dθ
=(1/n+1)[e^{i2(n+1)π-1]=0

Q大学(院)生以外の「学生」も成績見られることはありますか?

学校に入っている学生が就職活動をするなら「成績証明書も持ってきてください」と言われることはありますか?あれは大学(院)だけであることですか?

Aベストアンサー

あります。
なぜならどんな学生か
真剣に探す会社なら
参考にできるからです。

もし成績が悪い場合は不利です。
でも成績だけがすべてではないということが
わかっている経営者もいます。
「学歴不問」
そういった会社がありますから。

Qlim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

lim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

ということなのですが、区分求積法を使おうとしたのですが、よくわかりません。
複雑ですが、解けた方は教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
={1/2・log(1+x)}[0,π/2]-lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

第一項目の積分は=1/2・log(1+π/2)
第二項目の積分において、f(x)=1/(1+x)は(0~π/2)で積分可能である。従って、そのフーリエ係数はn→∞のとき0に収束する。
(リーマン-ルベグの定理を用いた。)よって第二項目の積分は0となる。

よって、lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=1/2・log(1+π/2)
となる。

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
={1/2・log(1+x)}[0,π/2]-lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

第一項目の積分は=1/2・log(1+π/2)
第二項目の積分において、f(x)=1/(1+x)は(0~π/2)で積分可能である。従っ...続きを読む

Q2通りの指値を注文することは可能でしょうか??

こんばんは。
株素人です。教えてください。

株を売るときに、指値を”利食い用”と”ロスカット用”に指定しておいて、先に株価がその金額になった方に約定させ、もう一方は失効させることは可能でしょうか??
おかしいですか??(素人考えです。)

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

証券会社によって違いますが、もちろんできます。

主に逆指値というシステムですが、カブコムやマネックス、楽天などで使用することができます。

Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む

Q言っていることが逆の意味を指す四字熟語

さっき言っていたことと、今言ったことが逆。
ということを指す、四字熟語はありませんか?

お力添え、お願いいたします。

Aベストアンサー

朝令暮改(チョウレイボカイ)

朝出した命令を夕方にはもう改めるというように、法律や命令が頻繁に変えられて、一定しないこと。
かな?

Aベストアンサー

 |cos(z)|≦1 ⇔|cos(z)|^2≦1 ですので、2乗したもので今後考えていきます。

 cos(z)=cos(x)cosh(y)-i sin(x)sinh(y) ですから、これを代入して式を変形していきます。

  cos(x)^2 cosh(y)^2+sin(x)^2 sinh(y)^2 ≦1
 ⇔cos(x)^2+sinh(y)^2 ≦1
 ⇔sinh(y)^2≦sin(x)^2
 ∴-sin(x)≦sinh(y)≦sin(x) (∵sin(x)≧0, 0≦x≦π)

 つまり、求める範囲は 0≦x≦πの範囲で 曲線:sinh(y)=±sin(x) で囲まれる領域になります。

 曲線:sinh(y)=sin(x) は、増減表を書いてもらえば分かりますが、0≦x≦πの範囲で上に凸な関数になり、(0,0),(π,0)を通り、x=π/2のときy=log(1+√2)と最大になります。

 このことを踏まえて図示すると、リンク先に示される領域になります。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28x%29%5E2%2Bsinh%28y%29%5E2%3C%3D1%2C+0%3C%3Dx%3C%3D%CF%80

 |cos(z)|≦1 ⇔|cos(z)|^2≦1 ですので、2乗したもので今後考えていきます。

 cos(z)=cos(x)cosh(y)-i sin(x)sinh(y) ですから、これを代入して式を変形していきます。

  cos(x)^2 cosh(y)^2+sin(x)^2 sinh(y)^2 ≦1
 ⇔cos(x)^2+sinh(y)^2 ≦1
 ⇔sinh(y)^2≦sin(x)^2
 ∴-sin(x)≦sinh(y)≦sin(x) (∵sin(x)≧0, 0≦x≦π)

 つまり、求める範囲は 0≦x≦πの範囲で 曲線:sinh(y)=±sin(x) で囲まれる領域になります。

 曲線:sinh(y)=sin(x) は、増減表を書いてもらえば分かりますが、0≦x≦πの範囲で上に凸な関数に...
続きを読む


おすすめ情報