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命題(証明の論理) 次の等式が成立する.
(P ⇒ Q) = (¬Q ⇒ ¬P) = ¬P ∨ Q
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ …

右の等号が分からない。

質問者からの補足コメント

  • こんな真理値表を書いてきました。

    P Q (P ⇒ Q)
    真 真 真
    真 偽 偽
    偽 真 不定
    偽 偽 不定

      補足日時:2019/09/05 02:11
  • これは補足ではなくお礼初稿です。

    真に回答を活かすには、と考えると、理解の進度を報告するのが良い。
    そういう思いからお礼は理解の証として投稿予定です。

    再現
    Zàixiàn

    No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/09/07 23:10

A 回答 (7件)

英語でも "if P then Q" だと P⇒Q だか P⇔Q だか解らなくなる人がいて、


P⇒Q は "if P then Q"、P⇔Q は "iff P then Q" だとか、
"iff" と書いて "if and only if" と読めとか教えることがあるみたいですが、
あまり普及していないようで、質問者の友人と同じ状態になる人は絶えないようです。
論理式を自然言語で解釈するな!という原則は、何語でも同じなのでしょうね。

「または」についても、"P or Q" が P∨Q なのか (P∧¬Q)∨(¬P∧Q) なのか
解らなくなる人がいるのは、「PまたはQ」と事情が同じです。
これも、P∨Q は "P or Q" で、(P∧¬Q)∨(¬P∧Q) は "P xor Q" だとか、
"xor" と書いて "exclusive or" と読めとか教えることがあるようですが、
およそソノスジの人にしか通じない話で、英語としては全く普及していません。

論理式の意味は、正確な定義すなわち真理値表で理解すべきものであること、
論理式はひとつの独立した数学言語なので、安易に自然言語へ翻訳すると
誤訳や誤解の余地がある訳が生じがちであることを理解すべきなんでしょう。
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この回答へのお礼

自然言語は曖昧さがウリなんですね。
ありがとうございました。
遅くなり失礼。

お礼日時:2020/06/24 03:22

やはり、日本語と数学とで「ならば」の意味が違う、ということですね。



日本語では
「PならばQ 」 = 「PであるならQである、 PでないならQでない」
くらいの意味になってます。(これはP⇔Q に相当)

あるいは
「PならばQ」 ~ 「PであるならQである、 Pでないなら、Qかどうかわからない」


P→Q は
「PならばQ」= 「PであるならQである、 Pでないなら、QでもいいしQでなくてもいい」
の意味になります。
これを∧と∨にしたら
(P∧Q) ∨ (¬P∧ (Q ∨ ¬Q) )
これを変形したら
¬P ∨ Q
になります。





余談。
P ∨ Q の方は、日本語の「または」と区別ついてますか?
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ずいぶん遅くなってしまいました。
いまやっと、全てを理解出来ました。
ありがとうございました。

お礼日時:2020/06/24 03:18

>下記の式が成り立つのが分からない人にどう教えますか?



「命題論理は自然言語の論理とは別物」
「『(P ⇒ Q)はPが偽の場合については言及していない』は自然言語での理論です」
と教えます
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この回答へのお礼

要素命題と述語論理の違いとか、身近そうで基本的で大事そうな事でも理解していない事があると実感したそうです。
ありがとうございます。

お礼日時:2019/09/05 09:48

命題論理に「不定」という真偽値はないので,補足コメントの真理表は間違いです。



命題論理とは厳密に定義と公理にしたがってのみ式の操作ができるのであって,それ以外の意味付けで式を扱ってはいけません。
命題論理では P ⇒ Q は ¬P ∨ Q と定義される,つまり単なる記法です。定義ですから正しい以外にないのです。
定義と公理にしたがって式を変形すれば,あるいは真理表を作れば,ご質問の式の等価は成り立つことが分かります。

「⇒」は通常「ならば」と読まれるため,自然言語の「ならば」の意味に引きずられて ¬P ∨ Q と異なるような気がしてしまいがちですが,それは命題論理の範囲ではありません。
逆にいえば,自然言語の「ならば」は命題論理の「⇒」に対応するわけではなく,自然言語の命題は常に命題論理に落とし込めるというわけでもないのです。

それで命題論理が不足あるいは不適と思うなら,論理学には他の論理もあって,たとえば真でも偽でもない論理値のある論理もあれば「ならば」に命題論理と違う定義を与えるものもあるのでそちらを使ってください。でもそれらはかなり難しいし,学ぶにも命題論理が基礎として必要です。

まあ初歩的には「⇒」を「ならば」とは別の単なる演算子と考えるのが気分としては楽でしょう。
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この回答へのお礼

記号「⇒」が日本語の「ならば」とは違うことは初めて知ったそうです。
もしかして高校数学をマスターしてれば当然知っているのでしょうか。

ありがとうございました。

お礼日時:2019/09/05 09:45

あなたが質問文に書いた URL に, そんな真理値表につながる情報はないんだけどなぁ.



(iii) 「P ならば Q」という命題(含意)を P ⇒ Q で表す.その真理値は,P が真のときには,Q が真であれば真であり,P が偽のときには,Q の真偽とは無関係に真であると定める.

という文章の意味は理解できますか?
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この回答へのお礼

それは理解できる模様です。

ええとですね、
P:aは自然数である。
Q:aは実数である。
(P ⇒ Q) は成立。

(aは自然数である)ならば(aは実数である) ・・・(ア)

でも
¬P ∨ Q
¬P:aは自然数ではない。
Q:aは実数である。

(aは自然数ではない)または(aは実数である) ・・・(イ)

アとイが同値というのが理解できない模様です。

お礼日時:2019/09/05 03:23

「P が真なら Q も真」という「言い換え」もおかしいんだが, じゃあ P が偽だったらどうなんだ?



あと,
P Q
真 真
真 偽
偽 真
偽 偽
ってなに?
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この回答へのお礼

>じゃあ P が偽だったらどうなんだ?

(P ⇒ Q)はPが偽の場合については言及していないと思います。


>あと,
P Q
真 真
真 偽
偽 真
偽 偽
ってなに?

それはPとQの真偽の組み合わせの全リストです。

という反応です。

お礼日時:2019/09/05 01:57

真理値表を書く.

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この回答へのお礼

P Q
真 真
真 偽
偽 真
偽 偽

(P ⇒ Q) を言い換えると、Pが真ならQも真。
だから
(P ⇒ Q)=P∧Q
ではありませんか、という反応です。

お礼日時:2019/09/05 01:00

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