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数学です。
数三の部分積分は微分側と積分側どちらも計算可能な場合、入れ替えても答えは合いますか?

A 回答 (3件)

例) I=∫2sinθcosθdθ


i> sin を積分
I=2(-cosθ)cosθ-2∫(-cosθ)(-sinθ)dθ
=-2cos²θ-I
2I=-2cos²θ+C₁
I=-cos²θ+C

ii> cos を積分
I=2sinθsinθ-2∫cosθsinθdθ
=2sin²-I
2I=2sin²θ+C₂
I=sin²θ+C

iii> 部分積分を用いない
I=∫sin2θdθ
=-1/2 cos2θ+C

あらら、3通りの答え出てきちゃったよ!
でもよく見ると C は任意の値なんだから同じなんだよね。
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部分積分法は、微分の公式


(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g(x)’ から出来ています。
両辺を積分すると
f(x)g(x)=∫f’(x)g(x)dx+∫f(x)g’(x)dx
∫f’(x)g(x)dx=f(x)g(x)ー∫f(x)g’(x)dx・・・①
∫f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)ー∫f’(x)g(x)dx・・・②
となります。
∫f’(x)g(x)dx=∫f(x)g’(x)dxと仮定すると
f(x)g(x)ー∫f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)ー∫f’(x)g(x)dx
∫f(x)g’(x)dx=∫f’(x)g(x)dx
と矛盾なしで、①と②は同じになります。
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計算を間違えなければ同じ答えになります.



ただし, 「実は同じだけど見た目が違う」答えが出るという可能性はあるかも.
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