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明治大学の問題です。
分かるかたがいましたら、教えてください。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (1件)

(1) zx平面に平行な平面 y=sinθ において、直線PQの方程式は、z=(sinθ/cosθ)x=(tanθ)x


x=t のとき、z=(tanθ)t 
よって、A( t, sinθ , (tanθ)t )
同様にして、B( t, -sinθ , (tanθ)t )

(2)x軸上の点をC(t,0,0)とします。また、線分ABの中点をDとすると、D( t , 0 , (tanθ)t )。
線分ABをx軸の周りに1回転させるとき、点Cとの距離が最大なのはCA(=CB)、点Cとの距離が最小なのはCD。線分ABをx軸の周りに1回転させるとき、線分ABが通過する部分の面積は、点C中心、半径CAの円の面積から、点C中心、半径CDの円の面積を引いたものです。

CA=√{sin²θ+(tan²θ)t²}
CD=(tanθ)t

これより、求める面積は、
π{sin²θ+(tan²θ)t²}-π(tan²θ)t²=πsin²θ
tの値にかかわりません。

(3) t は、-cosθ から、cosθ まで動かしますので、長さは、2cosθ。
V=πsin²θ×2cosθ=2πsin²θcosθ

(4)V=2πsin²θcosθ=2π(1-cos²θ)cosθ=2π(cosθ-cos³θ)
V´=2π{-sinθ-3cos²θ(-sinθ)}=-2πsinθ(1-3cos²θ)
増減表をかいて調べれば、Vはcosθ=√3/3のとき最大で、最大値は、
V=2π{√3/3-(√3/3)³}=(4√3π)/9
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