aを任意の正の数として、この証明を教えて下さいませんか？

aを任意の正の数として、この証明を教えて下さいませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/09 14:01

なんちゃって解法。

(a^n)/n! = Σ[k=0...n](a^k)/k! - Σ[k=0...n-1](a^k)/k! → e^a - e^a (when n→∞)
= 0.

Σ[k=0...n](a^k)/k! → e^a の e^a は明示する必要がなくて、
級数の収束だけ示せば (a^n)/n! → 0 が言える。
Σ[k=0...n](a^k)/k! の収束は、ダランベール判定法
lim[k→∞]{(a^(k+1)/(k+1)!}/{(a^k)/k!} = lim[k→∞]a/(k+1) = 0 < 1
から言える。

この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

お礼日時：2019/09/25 23:05

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/09/09 10:42

k>2a

となる自然数kがある

任意のε>0に対して
n_0>k+(2a)^k/k!/ε
となる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
n>n_0>kだから

|a^n/n!|
=a^n/n!
=(a^k/k!)Π_{j=k+1～n}(a/j)
↓k<j<2a→a/j<1/2だから
<(a^k/k!)/2^(n-k)
=(2a)^k/k!/2^n
<(2a)^k/k!/n
<(2a)^k/k!/n_0
<(2a)^k/k!/{(2a)^k/k!/ε}
=ε
↓
|a^n/n!|<ε
∴
lim_{n→∞}a^n/n!=0

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/08 23:13

「a より大きな整数 N に対して～」ってやるのが普通.