トレースの計算

(2.18)における二つ目の式が証明できません．どなたかお答えいただきたいです．

質問者からの補足コメント

• 上から
  行列Cで微分
  行列BCの全要素の二乗和
  行列Bの転置
  となっています．

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/09/12 11:27

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/09/13 15:59

今一判然としないが、Aの要素を a[ij]としたとき、tr(A)²=Σ[i=1,n] Σ[j=1,n] a[ij]²　とする。

(BC)[ij]=Σ[k=1,n] b[ik]c[kj]
tr(BC)²=Σ[i=1,m] Σ[j=1,m] { Σ[k=1,n] b[ik]c[kj] }²

上式をc[pq]で偏微分して残るのは、j=q のみで、(∂a/∂c[pq])(Σ[k=1,n] b[ik]c[kq]) の偏微分は
k=pのみ残り、b[ip] となるから
{(∂/∂C)tr(BC)²}[pq]=Σ[i=1,m] 2{ Σ[k=1,n] b[ik]c[kq] } b[ip]
=2Σ[k=1,n] {Σ[i=1,m] b[ip]b[ik] } c[kq]
=2Σ[k=1,n] {Σ[i=1,m] b'[pi]b[ik] } c[kq] ・・・・ ここで、Bの転置 b'[pi]=b[ip] を使った。
=2Σ[k=1,n] (B'B)[pk] c[kq]=(2(B'B)C)[pq]=(2B'BC)[pq]

ゆえに
(∂/∂C)tr(BC)²=2B'BC
をえる。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/13 00:36

地道に両辺を計算すればいいんじゃないかねぇ.

どこまでいけてどこで困っているのか知らんけど.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/12 00:07

ねんのため以下の記号の定義をお願いします.

∂/∂C
tr(BC)^2
B'