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故に互いに可換なn次正則行列の全体は代数体(GLFn:一般線形体)を構成し、その実体は同じ固有ベクトルを共有するn次正則行列の全体に等しい。

A 回答 (7件)

A


=
(0,1)
(1,0)

とすると

Aは正則

A^2
=
(0,1)(0,1)
(1,0)(1,0)
=
(1,0)
(0,1)
=
E=(単位行列)
も正則
だけれども


E+A
=
(1,1)
(1,1)

は正則でないから逆行列(乗法逆元)が存在しないので

Aを含む環は体ではありません
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ま、名前のつけ方の問題だけで、


体 k 上の正則行列 A に対して行列環の部分環 k[A] が体である
というのは正解なんだけどね。
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A


=
(2,1)
(1,2)

B
=
(1,2)
(2,1)

とすると

AB=
(2,1)(1,2)=(4,5)
(1,2)(2,1)=(5,4)

BA=
(1,2)(2,1)=(4,5)
(2,1)(1,2)=(5,4)

AとBの積は可換で
同じ固有ベクトルを共有する正則行列ですが

その和

A+B
=
(3,3)
(3,3)

は正則ではありません

互いに可換なn次正則行列の全体は
零0行列を加えたとしても
加法に関して閉じていないので
体にもなりません

体にもならないのだから
代数体になりません
(
代数体とは有理数体の代数的拡大体のことをいいます
従って「π」などの代数的でない無理数を含みません
)
それから

C
=
(0,1)
(1,0)

の固有ベクトルは

t(1;1)

t(1;-1)

E
=
(1,0)
(0,1)

の固有ベクトルは

Ex=x
だから

すべての零でないベクトル
(x1;x2)
となります

もし
単位行列Eの固有ベクトルが

t(1;0)

t(0;1)

だけならば

EとCの共通固有ベクトルが無いことになってしまい
EとCは可換である事に矛盾します
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どうやら, あなたのいうところの「固有ベクトル」というものは, 一般的に数学で用いられている「固有ベクトル」とは違うもののようです.



あなたのいっている「固有ベクトル」の定義をお願いします.
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「同じ固有ベクトルをもつ」とか「同じ固有ベクトルを共有する」とかって, 厳密にいうとどういうこと?



例えば単位行列では (零でない) すべてのベクトルが固有ベクトルになるけど, それと「同じ固有ベクトルをもつ」ということは, いわゆる「スカラー行列」のみが単位行列と可換であると主張している?
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この回答へのお礼

>例えば単位行列では (零でない) すべてのベクトルが固有ベクトルになるけど

間違い。
n次単位行列の固有ベクトルは各座標軸に平行なn個のベクトルであって、全てのベクトルではない。

お礼日時:2019/09/15 07:51

「代数体」という言葉の使い方が、あまりに不用意というか雑。


「代数体」の定義をちゃんと確認して言ってますか?
前回質問にも書いたけれども、
互いに可換なn次正則行列の全体に零行列を加えたものは
「体」にはなる。
それを「一般線形体」とは普通呼ばないし、GLFn という記号も使わない。
貴方がそれをそう呼んで使うのはかまわないが、
使う都度に用語と記号の説明を添える必要がある。
広く普及した言葉小遣いではないから。
あと、これも前回も書いたことだが、一般線型群 GL の「一般」は
特殊線型群 SL との対比において言うことだから、
貴方が注目しているその体を「一般線型体」と呼ぶことには
難色を示す人が多いだろうとは思う。ま、それは気持ちの問題だけど。
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互いに可換なn次正則行列の全体は


加法単位元(0)元が存在しないので
代数体ではありません
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