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高1です。
指数関数と対数関数の項目で 問題を解いていて、
写真のような式が出てきました。
指数関数とか以前の問題だと思うのですが、
写真の式のような流れになるのが
わかりません… (不等式がわかっていないのかもです)
なぜこういう式の流れになるのか、
教えていただけると嬉しいです!
よろしくお願いします!

「高1です。 指数関数と対数関数の項目で 」の質問画像

A 回答 (4件)

単に連立不等式なだけですが、答えが間違っています。



p=log[10]a, q=log[10]bとすると、

19≦p+3q<20
3≦p<7/2

19-p≦3q<20-p
19-pが最小になるのはpが7/2のときだが、pは7/2は含まれないので、19-p≦3q<20-pの左側の等号は消える。
20-pが最大になるのはpが3のとき。
よって、

19-7/2<3q<20-3
31/2<3q<17
31/6<q<17/3
31/6<log[10]b<17/3
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この回答へのお礼

助かりました

お礼がとても遅くなってしまってすみません!
お忙しい中、お時間を割いて返信してくださり、本当にありがとうございました!
ばっちり理解できました!
また機会がありましたら、ぜひよろしくお願いいたします!

お礼日時:2019/09/15 23:57

単に不等式の扱いに不慣れという事のようですね


logのままでは混乱するので
loga=A,logb=Bとおくと
19≦A+3B<20…① という不等式で3≦A<7/2と言う条件付きのときBの範囲はどうなる? ということです
ひとつのイメージとしては、A,Bという伸縮可能な物差しがあり(Bは3つあり)、Aは3以上3.5未満の範囲で伸び縮みさせることが出来ることが分かっているなら、
AとB3つをつなげたものは(それぞれを伸縮させることにより)19以上20未満となるというのが不等式の意味です。
そのような時、Bの伸縮範囲を調べたのが画像の式です
そこで慣れるまでは、以下のように考えてみれば良いかもです

①の左辺、中篇、右辺からAを引くと
19-A≦3B<20-A
更に、左辺、中篇、右辺を3で割ると
(19-A)/3≦B<(20-A)/3…② となるが、これは①と同等
A、Bは変数で、変数が2つある時の考え方の基本は、片方の変数を固定して考えることですから、Aを固定して最小値A=3のとき(物差しAを最も縮めた状態)についてまず考えます。
②のAを3に置き換えて
(19-3)/3≦B<(20-3)/3⇔16/3≦B<17/3…③
ですから、A=3(物差しAを最も縮めた状態)のときはBの範囲は16/3以上17/3未満でなければつじつまが合わないことになります。

次に、Aを最大(物差しAを最も伸ばした状態)に固定して考えるのですが、Aは3.5未満という事で具体的な最大値が確定しません。(Aは最大に伸ばすと3.5に限りなく近づくが、3.5になることは無いという事)
そこで、少しだけ数学的な思考が要求されることになります。
②のAに3.5に限りなく近い数字(ただし3.5よりはごくわずかに小さい数値)を代入することをイメージします
すると左辺は19-(3.5よりはごくわずかに小さい数値)=(15.5よりわずかに大きい数字)
ですから
左辺=(15.5よりわずかに大きい数字)/3
という事になります
というのも19-Aは数直線上では19とAの距離だから、
19-3.5=15.5は数直線上で19と3.5の距離という事になりますが、
引く数がわずかでも3.5より小さくなれば、19からの距離は増えるというのが理屈です。
同様にして
右辺=(16.5よりわずかに大きい数字)/3
従って、このとき②は単純に
(15.5よりわずかに大きい数字)/3≦B<(16.5よりわずかに大きい数字)/3
となります
ただ、左辺と中編の関係では「Bは(15.5よりわずかに大きい数字)以上」と言う表現は普通見られないもので、これはBは15.5より大きいという意味と同じですから、後者を採用して
15.5/3<B<(16.5よりわずかに大きい数字)/3 …④とするのが適当です(中編と右辺の関係についてはこの先へ進むときにあまり影響を与えないので深く考える必要はない)

Bの伸縮は③、④の両範囲を併せ持っていないとつじつまが合わないことになりますから
③④の範囲を併せると
15.5/3<B<17/3(31/6<B<17/3)が得られます(③④の共通範囲を取ると、Aを最も縮めたときのBの条件とつじつまが合わなくなるし、Aを最も伸ばしたときのBの条件ともつじつまが合わなくなる)
・・・ちなみに、画像最終行は左辺は計算ミス
Bを元に戻して
31/6<logb<17/3
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この回答へのお礼

ありがとう

お礼がとても遅くなってしまってすみません!
とても詳しく本当にありがとうございました!!
理解できました!
お時間割いて たくさん書いてくださり感謝でいっぱいです!
また機会がありましたら、どうぞよろしくお願いします!

お礼日時:2019/09/15 23:54

No.1 さんが丁寧に書いてくれているけれどね。


1つ追加するとすれば

3≦p<7/2
両辺にマイナス1を掛けて
- 7/2 < -p <= -3

これで
19≦p+3q<20
に足し算したら

19 - 7/2 < -p + p + 3q < 20 - 3
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この回答へのお礼

助かりました

お礼がとても遅くなってしまってすみません!
お時間割いて、書いて(教えて)くださり本当にありがとうございました!
理解できました!
また機会がありましたら、ぜひよろしくお願いいたします!

お礼日時:2019/09/15 23:55

まず、最初の2行が問題ですよね。



19≦log₁₀a+3log₁₀b>20 ... (1)
3≦log₁₀a<7/2 ... (2)
-7/2<-log₁₀a≦-3 ... (2)’
19-7/2<3log₁₀b<20-3 ... (1)+(2)’
(19-7/2)/3<log₁₀b<(20-3)/3
31/6<log₁₀b<17/3

という訳で、最後の1行に計算ミスあり。
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この回答へのお礼

助かりました

お礼がとても遅くなってしまってすみません!
お忙しい中、お時間を割いて書いてくださり、本当にありがとうございました!
ばっちり理解できました!
また機会がありましたら、ぜひよろしくお願いいたします!

お礼日時:2019/09/15 23:56

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