数学 167番教えてください。aの場合分けして、そのあと何をすればいいのでしょうか

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167番教えてください。aの場合分けして、そのあと何をすればいいのでしょうか

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/16 21:40

とりあえず t = cos x と置換して、問題から x を消去しましょうか。

これによって三角関数は関係がなくなり、問題は
|t| ≦ 1 の範囲で at^2 + 8t + 1 の最小値が 0 以上であるような a の範囲を求めよ
と書き換えられます。 g(t) = at^2 + 8t + 1 と置きましょう。
二次関数の値域を考えるので、二次項の係数 a の符号で場合分けが必要ですね。

a > 0 のとき、-1 ≦ t ≦ 1 の両端 t = -1, 1 と二次関数の軸 t = -4/a を比較して、
g(t) の最小値は
-1 ≦ -4/a ≦ 1 の場合 g(t) ≧ g(-4/a) = -16/a + 1,　←[1]
-4/a < -1 の場合 g(t) ≧ g(-1) = a - 7,　←[2]
1 < -4/a の場合 g(t) ≧ g(1) = a + 9.　←[3]
[1]が成り立つのは a ≧ 4 の場合で、更に g(t) ≧ -16/a + 1 ≧ 0 も成り立つのは a ≧ 16 の場合。
[2]が成り立つのは 0 < a < 4 の場合で、更に g(t) ≧ a - 7 ≧ 0 も成り立つことはない。
[3]が成り立つことはない。

a = 0 のとき、g(t) = 8t + 1 ≧ g(-1) = -7 より、g(t) ≧ 0 は成立しない。

a < 0 のとき、-1 ≦ t ≦ 1 の両端 t = -1, 1 と二次関数の軸 t = -4/a を比較して、
g(t) の最小値は
-4/a ≦ 0 の場合 g(t) ≧ g(１) = a + 9,　←[4]
0 < 4/a の場合 g(t) ≧ g(-1) = a - 7.　←[5]
[4][5]が成り立つような a はない。

以上をまとめると、任意の x について与式が成り立つのは、
a ≧16 の場合だと判る。

この回答へのお礼

すごくわかりやすかったです。ありがとうございます。

お礼日時：2019/09/19 16:23

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/09/16 00:41

acos²x+8cosx+1≧0

a≦0 のとき cosx<-1/8 となる x の範囲で与式が成立しないので、少なくとも a>0 であることが判る。
1/a {a²cos²x+8acosx+a}≧0
(acosx+4)²/a+1-16/a≧0 ... [1]
i> 0<a≦4 のとき
(acosx+4)² は cosx=-1 で最小となる。
(-a+4)²+a-16≧0
a²-7a≧0
a(a-7)≧0
a≦0, 7≦a
となり範囲外

ii> a>4 のとき
(acosx+4)² は cosx=-4/a で最小値 0 を採る。この時 [1] 式は最小値 1-16/a を採る。これが常に 0 以上となるためには
1-16/a≧0
(a-16)/a≧0
a>0 なので
a≧16
よって a の最小値は 16