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大学1年生です。

0<∣a∣<1 を満たす実数aに対して、
lim[n→∞] a^n=0

が成り立つことの証明方法を教えてください。
もしくは、それについて書かれているサイトがあれば教えてください。

A 回答 (1件)

b>1 のとき、b=1+h (h>0) とおくと、


bⁿ=(1+h)ⁿ=nC₀+nC₁h+nC₂h²+……+nCnhⁿ=1+nh+(nC₂h²+……+nCnhⁿ)
nC₂h²+……+nCnhⁿ>0より、
bⁿ>1+nh
lim[n→∞]bⁿ>lim[n→∞](1+nh)=∞
よって、
lim[n→∞]bⁿ=∞

① 0<a<1 のとき、
a=1/b とおけるので、
lim[n→∞]aⁿ=lim[n→∞]1/bⁿ=0

② a=0 のとき、
lim[n→∞]aⁿ=0

③ -1<a<0 のとき、
lim[n→∞]|a|ⁿ=0 より、
lim[n→∞]aⁿ=0

したがって、0<∣a∣<1 を満たす実数aに対して、
lim[n→∞] aⁿ=0
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