大学1年生です。 0<∣a∣<1 を満たす実数aに対して、 lim[n→∞] a^n=0 が成り立つ

大学1年生です。

0<∣a∣<1 を満たす実数aに対して、
lim[n→∞] a^n=0

が成り立つことの証明方法を教えてください。
もしくは、それについて書かれているサイトがあれば教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/09/20 18:44

b>1　のとき、b=1+h (h>0)　とおくと、

bⁿ=(1+h)ⁿ=ｎC₀+ｎC₁ｈ+ｎC₂ｈ²+……+ｎCｎｈⁿ=1+nh+(ｎC₂ｈ²+……+ｎCｎｈⁿ)
ｎC₂ｈ²+……+ｎCｎｈⁿ＞０より、
bⁿ＞1+nh
lim[n→∞]ｂⁿ＞lim[n→∞](1+nh)＝∞
よって、
lim[n→∞]ｂⁿ＝∞

① 0<a<1 のとき、
a=1/b とおけるので、
lim[n→∞]aⁿ＝lim[n→∞]1/bⁿ＝0

② a=0 のとき、
lim[n→∞]aⁿ=0

③ -1<a<0 のとき、
lim[n→∞]|a|ⁿ=0 より、
lim[n→∞]aⁿ=0

したがって、0<∣a∣<1 を満たす実数aに対して、
lim[n→∞] aⁿ=0